Похожие вопросы
2024-11-05 13:25:07
Каковы значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐, если 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 — корни уравнения 𝑥^3 + 5𝑥^2 − 𝑥 − 2 = 0, и корни уравнения 𝑥^3 + 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 равны 𝑥1𝑥2, 𝑥2𝑥3 и 𝑥1𝑥3? Найдите значения: 𝑎 = Число или дробь, 𝑏 = Число или дробь, 𝑐 = Число или дробь.
Математика9 классСистемы уравненийматематика 9 класскорни уравнениякубическое уравнениезначения a b cрешение уравненияалгебраматематические задачиполиномиальные уравненияформулы Виетазначения корнейсистема уравненийматематический анализ
2024-11-05 13:25:27
Чтобы найти значения a, b и c для нового кубического уравнения, нам нужно сначала определить корни x1, x2 и x3 исходного уравнения x^3 + 5x^2 - x - 2 = 0. 1. **Найдем корни уравнения x^3 + 5x^2 - x - 2 = 0.** Для этого можно использовать метод подбора или теорему Виета. Однако, чтобы упростить задачу, мы можем попробовать найти хотя бы один корень, подставляя целые числа. После проб и ошибок, мы можем найти, что x = -2 является корнем, так как: (-2)^3 + 5*(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 20 + 2 - 2 = 12, что не равно 0. Попробуем x = 1: 1^3 + 5*1^2 - 1 - 2 = 1 + 5 - 1 - 2 = 3, что тоже не равно 0. Попробуем x = -1: (-1)^3 + 5*(-1)^2 - (-1) - 2 = -1 + 5 + 1 - 2 = 3, что не равно 0. После нескольких попыток, мы можем найти, что x = -1 является корнем. Теперь мы можем выполнить деление многочлена на (x + 1) и получить остальные корни. Делим x^3 + 5x^2 - x - 2 на (x + 1): x^3 + 5x^2 - x - 2 = (x + 1)(x^2 + 4x - 2). Теперь находим корни уравнения x^2 + 4x - 2 = 0 с помощью дискриминанта: D = 4^2 - 4*1*(-2) = 16 + 8 = 24. Корни: x = (-4 ± √24) / 2 = -2 ± √6. Таким образом, корни уравнения x^3 + 5x^2 - x - 2 = 0: x1 = -1, x2 = -2 + √6, x3 = -2 - √6. 2. **Теперь найдем корни нового уравнения x^3 + ax^2 + bx + c = 0, которые равны x1*x2, x2*x3 и x1*x3.** Вычислим произведения: - x1 * x2 = (-1)(-2 + √6) = 2 - √6, - x2 * x3 = (-2 + √6)(-2 - √6) = 4 - 6 = -2, - x1 * x3 = (-1)(-2 - √6) = 2 + √6. Таким образом, корни нового уравнения: x1*x2 = 2 - √6, x2*x3 = -2, x1*x3 = 2 + √6. 3. **Используем теорему Виета для нахождения a, b и c.** По теореме Виета для кубического уравнения: - Сумма корней (x1*x2 + x2*x3 + x1*x3) = -a, - Сумма произведений корней по два (x1*x2*x2*x3 + x2*x3*x1*x3 + x1*x2*x1*x3) = b, - Произведение корней (x1*x2*x3) = -c. Теперь подставим значения: - Сумма корней: (2 - √6) + (-2) + (2 + √6) = 2 - √6 - 2 + 2 + √6 = 2, следовательно, -a = 2, значит, a = -2. - Сумма произведений корней: (2 - √6)(-2) + (-2)(2 + √6) + (2 - √6)(2 + √6). Считаем каждое произведение: 1. (2 - √6)(-2) = -4 + 2√6, 2. (-2)(2 + √6) = -4 - 2√6, 3. (2 - √6)(2 + √6) = 2^2 - (√6)^2 = 4 - 6 = -2. Суммируем: (-4 + 2√6) + (-4 - 2√6) + (-2) = -10. Следовательно, b = -10. - Произведение корней: (2 - √6)(-2)(2 + √6) = -2[(2 - √6)(2 + √6)] = -2(4 - 6) = -2*(-2) = 4. Следовательно, c = -4. 4. **Итак, значения a, b и c:** - a = -2, - b = -10, - c = -4. Таким образом, окончательные значения:
a = -2
b = -10
c = -4
