Чтобы найти, какую цифру можно записать вместо звездочки в числе 681*, чтобы оно делилось на 9, 5 и было кратно 6, давайте разберемся с каждым из этих условий по порядку.

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сначала найдем сумму известных цифр:

• 6 + 8 + 1 = 15

Теперь добавим к этой сумме звездочку:

• 15 + * = 15 + *.

Сумма 15 + * должна делиться на 9. Проверим возможные значения для * (от 0 до 9):

• Если * = 0, то 15 + 0 = 15 (не делится на 9)
• Если * = 1, то 15 + 1 = 16 (не делится на 9)
• Если * = 2, то 15 + 2 = 17 (не делится на 9)
• Если * = 3, то 15 + 3 = 18 (делится на 9)
• Если * = 4, то 15 + 4 = 19 (не делится на 9)
• Если * = 5, то 15 + 5 = 20 (не делится на 9)
• Если * = 6, то 15 + 6 = 21 (не делится на 9)
• Если * = 7, то 15 + 7 = 22 (не делится на 9)
• Если * = 8, то 15 + 8 = 23 (не делится на 9)
• Если * = 9, то 15 + 9 = 24 (не делится на 9)

Таким образом, единственное значение, при котором сумма делится на 9, это * = 3.

Число делится на 5, если его последняя цифра (в данном случае звездочка) равна 0 или 5. Из предыдущего условия мы знаем, что * = 3, что не подходит. Поэтому, чтобы число делилось на 5, * может быть только 0 или 5.

Число кратно 6, если оно делится на 2 и на 3. Мы уже выяснили, что для делимости на 3, * должно быть равно 3. Теперь проверим делимость на 2:

• Для делимости на 2, последняя цифра должна быть четной. Это значит, что * может быть 0, 2, 4, 6 или 8.

Но из условия делимости на 5, * может быть только 0 или 5. Таким образом, единственное значение, которое подходит под оба условия (делимость на 5 и кратность 6), это * = 0.

Чтобы число 681* выполняло все условия (делилось на 9, 5 и было кратно 6), звездочку можно заменить на 0.