На доске написано 36 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат, либо в куб, и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске?

Математика 9 класс Возведение в степень математика целые числа квадрат куб наименьшее количество различные числа задача по математике Новый

Рассмотрим задачу, в которой на доске написано 36 различных целых чисел, и каждое из них возводится в квадрат или в куб. Нам нужно определить, какое наименьшее количество различных чисел может оказаться записано на доске после этих операций.

Начнем с анализа, как числа ведут себя при возведении в квадрат и в куб:

• Если число x возводится в квадрат, то мы получаем x^2.
• Если число x возводится в куб, то мы получаем x^3.

Теперь надо понять, как можно уменьшить количество различных чисел на доске. Для этого нам нужно рассмотреть, какие числа могут совпадать после возведения в квадрат и в куб.

Обозначим целое число x. Рассмотрим два случая:

• Если x = n, то:
• x^2 = n^2
• x^3 = n^3
• Если x = -n, то:
• x^2 = (-n)^2 = n^2
• x^3 = (-n)^3 = -n^3

Таким образом, при выборе чисел можно заметить, что:

• Для положительных чисел n и -n:
• n и -n будут давать одинаковые квадраты (n^2), но разные кубы (n^3 и -n^3).
• Для нуля:
• 0^2 = 0 и 0^3 = 0, то есть ноль не добавляет новых чисел.

Теперь рассмотрим, как можно сгруппировать числа:

• Каждое положительное число n и соответствующее ему отрицательное число -n дадут одно и то же значение при возведении в квадрат (n^2), но разные значения при возведении в куб (n^3 и -n^3).
• Таким образом, для каждого положительного n мы можем использовать -n, чтобы сократить количество различных квадратов до 18 (половина от 36).

Теперь, если мы обозначим количество различных квадратов и кубов, то мы можем получить:

• 18 различных квадратов (n^2) от положительных чисел.
• 18 различных кубов (n^3 и -n^3) от тех же чисел.

Но некоторые кубы могут совпадать с квадратами. Например, если n = 1, то:

• 1^2 = 1 и 1^3 = 1.

Аналогично, если n = 0, то:

• 0^2 = 0 и 0^3 = 0.

Таким образом, чтобы минимизировать количество различных чисел, мы можем использовать числа, которые при возведении в квадрат и в куб дают одинаковые значения.

В итоге, наименьшее количество различных чисел, которое может оказаться записано на доске, составляет:

18 различных чисел.