На доске написано 36 различных целых чисел.

Каждое число возвели либо в квадрат,

либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске?

Запишите подробное решение и ответ.

Математика 9 класс Возведение в степень математика целые числа квадрат куб различные числа наименьшее количество задача по математике Новый

Для решения задачи начнем с анализа, что происходит, когда мы возводим целое число в квадрат или в куб. Рассмотрим, как могут выглядеть результаты этих операций для различных целых чисел.

Пусть x - целое число. Тогда:

• Квадрат: x^2
• Куб: x^3

Чтобы понять, сколько различных чисел может получиться, важно заметить, что некоторые числа могут совпадать после возведения в степень. Например:

• Если x = 0, то x^2 = 0 и x^3 = 0.
• Если x = 1, то x^2 = 1 и x^3 = 1.
• Если x = -1, то x^2 = 1 и x^3 = -1.

Теперь рассмотрим положительные и отрицательные целые числа:

• Положительные числа: если x > 1, то x^2 и x^3 будут различны.
• Отрицательные числа: если x < -1, то x^2 будет положительным, а x^3 отрицательным, и они также будут различны.

Теперь давайте попробуем минимизировать количество различных чисел на доске. Для этого мы можем использовать свойства чисел, которые уже приводили к совпадению:

1. Сначала заметим, что все числа, которые равны 0, 1 или -1, будут давать одинаковые результаты при возведении в квадрат или куб.
2. Мы можем взять числа 0, 1 и -1. Эти три числа будут давать только 3 различных результата: 0, 1 и -1.
3. Теперь рассмотрим остальные числа. Если мы возьмем, например, 2 и 3, то они будут давать 4 и 8 (для 2) и 9 и 27 (для 3). Эти числа не совпадают с предыдущими.

Теперь, чтобы достичь наименьшего количества различных чисел, мы можем использовать следующие числа:

• 0 (возводится в 0)
• 1 (возводится в 1)
• -1 (возводится в -1)
• и другие числа, которые дают уникальные результаты.

Если мы возьмем 36 чисел, из которых 3 будут 0, 1 и -1, то нам нужно будет выбрать еще 33 числа, которые будут давать уникальные результаты. Однако, если мы возьмем, например, 2, 3, 4, ..., 33, и все они будут давать уникальные результаты, то мы получим:

Таким образом, итоговое количество различных чисел будет равно:

• 0, 1, -1 (3 числа)
• 2^2, 2^3, 3^2, 3^3, ..., 33^2, 33^3 (33 уникальных чисел)

В итоге, наименьшее количество различных чисел, которое может оказаться на доске, равно:

36 различных чисел (все числа уникальны, кроме 0, 1 и -1, которые повторяются).