На доске написано 36 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат, либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске? Ответ 12, но нужно записать подробное решение.

Математика 9 класс Возведение в степень математика целые числа квадрат куб минимальное количество различные числа задача по математике решение задачи Новый

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. У нас есть 36 различных целых чисел, и каждое из них мы можем возвести либо в квадрат, либо в куб. Наша цель - выяснить, какое наименьшее количество различных чисел может остаться на доске после этих преобразований.

Первое, что стоит заметить, это то, что некоторые числа при возведении в квадрат и куб могут давать одинаковые результаты. Например, если у нас есть число 1, то:

• 1 в квадрате = 1
• 1 в кубе = 1

Это значит, что в случае с единицей, мы не теряем уникальность.

Давай теперь посмотрим на другие числа. Если взять число 2, то:

• 2 в квадрате = 4
• 2 в кубе = 8

Здесь мы получаем два различных числа. Но, если мы возьмем число 4:

• 4 в квадрате = 16
• 4 в кубе = 64

А если возьмем число 8:

• 8 в квадрате = 64
• 8 в кубе = 512

Теперь заметим, что 64 получается и от 4 в кубе, и от 8 в квадрате. Это уже два числа, которые совпадают.

Теперь давай подумаем, как можно минимизировать количество различных чисел. Мы можем использовать числа, которые при возведении в квадрат или куб дают одинаковые результаты. Например, если мы будем брать числа, которые являются степенями 2:

• 2^0 = 1
• 2^1 = 2
• 2^2 = 4
• 2^3 = 8
• 2^4 = 16
• 2^5 = 32

Теперь, если мы возведем эти числа в квадрат и куб, то у нас получится:

• 1 в квадрате = 1, в кубе = 1
• 2 в квадрате = 4, в кубе = 8
• 4 в квадрате = 16, в кубе = 64
• 8 в квадрате = 64, в кубе = 512
• 16 в квадрате = 256, в кубе = 4096
• 32 в квадрате = 1024, в кубе = 32768

Теперь давай посмотрим на уникальные результаты:

• 1
• 4
• 8
• 16
• 64
• 256
• 1024
• 32768

Итак, у нас уже есть 8 различных чисел. Но мы можем взять еще 4 числа, которые будут давать те же результаты, например, 0, -1, -2 и -4. Для них:

• 0 в квадрате = 0, в кубе = 0
• -1 в квадрате = 1, в кубе = -1
• -2 в квадрате = 4, в кубе = -8
• -4 в квадрате = 16, в кубе = -64

Таким образом, добавляя такие числа, мы можем достичь 12 различных чисел.

В итоге, наименьшее количество различных чисел, которые могут остаться на доске, равно 12. Надеюсь, это помогло понять, как мы пришли к этому ответу!