Для нахождения промежутков убывания функции f(x) = 2x³ - 9x² - 240x, нам нужно сначала найти производную этой функции. Производная поможет нам определить, где функция возрастает, а где убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

Используя правила дифференцирования, мы находим:

• Производная от 2x³ равна 6x².
• Производная от -9x² равна -18x.
• Производная от -240x равна -240.

Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = 6x² - 18x - 240.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

6x² - 18x - 240 = 0.

Для упрощения уравнения, разделим все коэффициенты на 6:

x² - 3x - 40 = 0.

Шаг 3: Решим квадратное уравнение.

Мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -40.

Сначала находим дискриминант:

• D = (-3)² - 4 * 1 * (-40) = 9 + 160 = 169.

Теперь находим корни:

• x₁ = (3 + √169) / 2 = (3 + 13) / 2 = 16 / 2 = 8.
• x₂ = (3 - √169) / 2 = (3 - 13) / 2 = -10 / 2 = -5.

Таким образом, критические точки: x = 8 и x = -5.

Шаг 4: Определим знаки производной на интервалах.

Теперь мы рассмотрим интервалы, которые образуются этими критическими точками: (-∞, -5), (-5, 8), (8, +∞).

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в производную f'(x):

• Для интервала (-∞, -5), например, x = -6:
• f'(-6) = 6(-6)² - 18(-6) - 240 = 216 + 108 - 240 = 84 (положительно).
• Для интервала (-5, 8), например, x = 0:
• f'(0) = 6(0)² - 18(0) - 240 = -240 (отрицательно).
• Для интервала (8, +∞), например, x = 9:
• f'(9) = 6(9)² - 18(9) - 240 = 486 - 162 - 240 = 84 (положительно).

Шаг 5: Сделаем вывод.

Мы определили знаки производной на интервалах:

• На интервале (-∞, -5) производная положительна, значит функция возрастает.
• На интервале (-5, 8) производная отрицательна, значит функция убывает.
• На интервале (8, +∞) производная снова положительна, значит функция возрастает.

Таким образом, функция f(x) убывает на интервале (-5, 8).