Давайте обозначим время, за которое каждый из них может наполнить бочку в одиночку:

• Время Вани — T_В
• Время Пети — T_П
• Время Серёжи — T_С

Теперь мы можем выразить скорость работы каждого из них:

• Скорость Вани = 1/T_В (бочка в час)
• Скорость Пети = 1/T_П (бочка в час)
• Скорость Серёжи = 1/T_С (бочка в час)

Теперь запишем уравнения на основе данных:

1. Ваня и Петя вместе заполнили бочку за 13 часов: 1/T_В + 1/T_П = 1/13
2. Петя и Серёжа вместе заполнили бочку за 18 часов: 1/T_П + 1/T_С = 1/18
3. Ваня и Серёжа вместе заполнили бочку за 26 часов: 1/T_В + 1/T_С = 1/26

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Давайте решим её.

Сначала выразим T_В, T_П и T_С через одно из уравнений. Например, из первого уравнения:

1/T_В = 1/13 - 1/T_П

Теперь подставим это значение в остальные уравнения:

Из второго уравнения:

Подставим 1/T_В из первого уравнения:

1/13 - 1/T_П + 1/T_С = 1/26

Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим T_С:

1/T_С = 1/26 - (1/13 - 1/T_П)

После упрощения мы получим:

Теперь мы можем выразить T_П через T_С. Подставляя T_П в уравнение, мы можем найти время, которое потребуется, если они будут работать втроём:

Суммарная скорость работы втроём:

Подставляя найденные значения, мы получаем:

1/T_В + 1/T_П + 1/T_С = 1/13 + 1/18 + 1/26

Теперь найдем общий знаменатель для этих дробей и сложим их:

Общий знаменатель будет равен 234. Приведем дроби к общему знаменателю и сложим:

Таким образом, мы получим результат:

1/T_втроём = 1/13 + 1/18 + 1/26 = 1/6

Теперь обратим дробь:

Таким образом, если Ваня, Петя и Серёжа будут работать вместе, им потребуется 6 часов, чтобы наполнить бочку.