При каких значениях a корни уравнения x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 больше 3?

Математика 9 класс Неравенства и системы неравенств корни уравнения значения a уравнение 9 класса математика 9 класс квадратное уравнение условия для корней неравенство анализ уравнения решение уравнений математические задачи Новый

Чтобы найти значения a, при которых корни уравнения x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 будут больше 3, начнем с того, что корни уравнения можно записать в виде:

Коэффициенты уравнения: A = 1, B = -6a, C = 9a^2 - 2a + 2.

Согласно теореме Виета, сумма корней (обозначим их x1 и x2) равна -B/A, а произведение корней равно C/A. То есть:

• x1 + x2 = 6a,
• x1 * x2 = 9a^2 - 2a + 2.

Теперь, чтобы оба корня были больше 3, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Сумма корней больше 6: x1 + x2 > 6.
2. Произведение корней больше 9: x1 * x2 > 9.

Подставим выражения из теоремы Виета в эти условия:

1. Для суммы корней:
• 6a > 6,
• a > 1.
2. Для произведения корней:
• 9a^2 - 2a + 2 > 9,
• 9a^2 - 2a - 7 > 0.

Теперь решим неравенство 9a^2 - 2a - 7 > 0. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

Для этого используем дискриминант:

• D = (-2)^2 - 4 * 9 * (-7) = 4 + 252 = 256.

Теперь найдем корни:

• a1 = (2 + √256) / (2 * 9) = (2 + 16) / 18 = 18 / 18 = 1,
• a2 = (2 - √256) / (2 * 9) = (2 - 16) / 18 = -14 / 18 = -7 / 9.

Теперь у нас есть корни a1 = 1 и a2 = -7/9. Так как это квадратичное неравенство, оно будет положительным вне интервала между корнями:

Таким образом, 9a^2 - 2a - 7 > 0 при:

• a < -7/9 или a > 1.

Теперь объединим оба условия:

• Сначала, a > 1;
• Второе условие: a < -7/9 не может быть выполнено одновременно с a > 1.

Итак, окончательный ответ: корни уравнения x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 будут больше 3 при a > 1.