Похожие вопросы
2025-01-05 00:01:35
При каких значениях a корни уравнения x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 больше 3?
Математика 9 класс Неравенства и системы неравенств корни уравнения значения a уравнение 9 класса математика 9 класс квадратное уравнение условия для корней неравенство анализ уравнения решение уравнений математические задачи
2025-01-05 00:01:45
Чтобы найти значения a, при которых корни уравнения x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 будут больше 3, начнем с того, что корни уравнения можно записать в виде:
Коэффициенты уравнения: A = 1, B = -6a, C = 9a^2 - 2a + 2.
Согласно теореме Виета, сумма корней (обозначим их x1 и x2) равна -B/A, а произведение корней равно C/A. То есть:
- x1 + x2 = 6a,
- x1 * x2 = 9a^2 - 2a + 2.
Теперь, чтобы оба корня были больше 3, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
- Сумма корней больше 6: x1 + x2 > 6.
- Произведение корней больше 9: x1 * x2 > 9.
Подставим выражения из теоремы Виета в эти условия:
- Для суммы корней:
- 6a > 6,
- a > 1.
- Для произведения корней:
- 9a^2 - 2a + 2 > 9,
- 9a^2 - 2a - 7 > 0.
Теперь решим неравенство 9a^2 - 2a - 7 > 0. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:
Для этого используем дискриминант:
- D = (-2)^2 - 4 * 9 * (-7) = 4 + 252 = 256.
Теперь найдем корни:
- a1 = (2 + √256) / (2 * 9) = (2 + 16) / 18 = 18 / 18 = 1,
- a2 = (2 - √256) / (2 * 9) = (2 - 16) / 18 = -14 / 18 = -7 / 9.
Теперь у нас есть корни a1 = 1 и a2 = -7/9. Так как это квадратичное неравенство, оно будет положительным вне интервала между корнями:
Таким образом, 9a^2 - 2a - 7 > 0 при:
- a < -7/9 или a > 1.
Теперь объединим оба условия:
- Сначала, a > 1;
- Второе условие: a < -7/9 не может быть выполнено одновременно с a > 1.
Итак, окончательный ответ: корни уравнения x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 будут больше 3 при a > 1.
