Для решения системы уравнений в целых числах, давайте сначала запишем наши уравнения:

• Уравнение 1: x^2 - 13 = 4y
• Уравнение 2: 28y - 17 = x

Сначала выразим y из первого уравнения:

1. Перепишем уравнение 1: 4y = x^2 - 13.
2. Теперь выразим y: y = (x^2 - 13)/4.

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:

1. Подставляем y в уравнение 2: 28((x^2 - 13)/4) - 17 = x.
2. Упростим: 7(x^2 - 13) - 17 = x.
3. Раскроем скобки: 7x^2 - 91 - 17 = x.
4. Упростим: 7x^2 - 108 = x.
5. Переносим все в одну сторону: 7x^2 - x - 108 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней:

1. Находим дискриминант D: D = b^2 - 4ac, где a = 7, b = -1, c = -108.
2. Подставляем значения: D = (-1)^2 - 4 * 7 * (-108) = 1 + 3024 = 3025.
3. Теперь вычисляем корни уравнения: x = (-b ± √D) / (2a).
4. Находим корни: x = (1 ± √3025) / 14.

Теперь вычислим √3025, который равен 55:

1. Получаем два значения для x: x1 = (1 + 55) / 14 = 56 / 14 = 4 и x2 = (1 - 55) / 14 = -54 / 14 = -27/7.

Поскольку нас интересуют только целые числа, оставляем только x1 = 4.

Теперь подставим x = 4 в первое уравнение, чтобы найти y:

1. Подставляем x в уравнение 1: 4^2 - 13 = 4y.
2. Вычисляем: 16 - 13 = 4y.
3. Получаем: 3 = 4y, отсюда y = 3/4, что не является целым числом.

Теперь попробуем x = 1, чтобы проверить, есть ли другие целые решения:

1. Подставляем x = 1 в уравнение 1: 1^2 - 13 = 4y.
2. Получаем: 1 - 13 = 4y, или -12 = 4y, отсюда y = -3.

Теперь проверим, подходит ли (x, y) = (1, -3) во второе уравнение:

1. Подставляем в уравнение 2: 28(-3) - 17 = 1.
2. Получаем: -84 - 17 = 1, что не выполняется.

Теперь проверим x = -5:

1. Подставляем x = -5 в уравнение 1: (-5)^2 - 13 = 4y.
2. Получаем: 25 - 13 = 4y, или 12 = 4y, отсюда y = 3.

Теперь проверим, подходит ли (x, y) = (-5, 3) во второе уравнение:

1. Подставляем в уравнение 2: 28(3) - 17 = -5.
2. Получаем: 84 - 17 = 67, что не выполняется.

Таким образом, целые решения системы уравнений: (x, y) = (1, -3) и (x, y) = (-5, 3).

Ответ: x = 1, y = -3 и x = -5, y = 3.