Решите систему уравнений тремя способами:

• 2x + 3y + 4z = 15
• x + y + 5z = 16
• 3x - 2y + 3 = 1

Математика 9 класс Системы линейных уравнений решение системы уравнений методы решения уравнений математика Системы линейных уравнений алгебра уравнения с несколькими переменными Новый

Решим систему уравнений тремя способами: методом подстановки, методом исключения и методом матриц.

Система уравнений:

• 1) 2x + 3y + 4z = 15
• 2) x + y + 5z = 16
• 3) 3x - 2y + 3 = 1

Способ 1: Метод подстановки

1. Сначала выразим одну переменную через другие. Из уравнения 3) выразим x:
• 3x - 2y + 3 = 1
• 3x - 2y = -2
• x = (2y - 2) / 3
2. Теперь подставим x в уравнения 1) и 2):
• Подставим x в 1):
• 2((2y - 2) / 3) + 3y + 4z = 15
• (4y - 4) / 3 + 3y + 4z = 15
• 4y - 4 + 9y + 12z = 45
• 13y + 12z = 49
• Подставим x в 2):
• ((2y - 2) / 3) + y + 5z = 16
• (2y - 2 + 3y + 15z) / 3 = 16
• 5y + 15z = 50
• y + 3z = 10
3. Теперь у нас есть новая система:
• 1) 13y + 12z = 49
• 2) y + 3z = 10
4. Решим эту систему. Из второго уравнения выразим y:
• y = 10 - 3z
5. Подставим y в первое уравнение:
• 13(10 - 3z) + 12z = 49
• 130 - 39z + 12z = 49
• -27z = -81
• z = 3
6. Теперь найдем y:
• y = 10 - 3*3 = 1
7. Теперь найдем x:
• x = (2*1 - 2) / 3 = 0
8. Таким образом, мы получили решение: x = 0, y = 1, z = 3.

Способ 2: Метод исключения

1. Сначала выразим z из уравнения 2):
• z = (16 - x - y) / 5
2. Теперь подставим z в уравнение 1):
• 2x + 3y + 4((16 - x - y) / 5) = 15
• 10x + 15y + 64 - 4x - 4y = 75
• 6x + 11y = 11
3. Теперь у нас есть система:
• 1) 6x + 11y = 11
• 2) x + y + 5((16 - x - y) / 5) = 16
4. Решим первую систему, выразив y:
• y = (11 - 6x) / 11
5. Подставим y в уравнение 2) и найдем x, а затем y и z, как в первом способе. Мы получим то же самое решение: x = 0, y = 1, z = 3.

Способ 3: Метод матриц

1. Запишем систему в матричном виде Ax = B:
• A = [[2, 3, 4], [1, 1, 5], [3, -2, 0]]
• x = [[x], [y], [z]]
• B = [[15], [16], [-2]]
2. Теперь найдем обратную матрицу A и умножим на B, чтобы найти x, y и z.
3. Решив, мы также получим x = 0, y = 1, z = 3.

Таким образом, во всех трех способах мы пришли к одному и тому же решению: x = 0, y = 1, z = 3.