Для решения уравнения x² + y² - 4x + 2y + 5 = 0, мы можем использовать метод выделения полного квадрата. Давайте разберем это пошагово.
- Перепишем уравнение: Начнем с того, что у нас есть уравнение:
x² + y² - 4x + 2y + 5 = 0
- Соберем все члены: Переносим 5 на правую сторону уравнения:
x² + y² - 4x + 2y = -5
- Выделим полный квадрат для x: Рассмотрим часть уравнения, содержащую x:
- У нас есть x² - 4x. Чтобы выделить полный квадрат, мы берем половину коэффициента при x (это -4), возводим его в квадрат и добавляем и вычитаем это значение:
(-4/2)² = 4
- Таким образом, мы можем переписать x² - 4x как:
(x - 2)² - 4
- Выделим полный квадрат для y: Теперь рассмотрим часть уравнения, содержащую y:
- У нас есть y² + 2y. Аналогично, берем половину коэффициента при y (это 2), возводим его в квадрат:
(2/2)² = 1
- Таким образом, y² + 2y можно переписать как:
(y + 1)² - 1
- Подставим обратно в уравнение: Теперь мы можем подставить выделенные квадраты обратно в уравнение:
(x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 = -5
- Упростим уравнение: Объединим все константы:
(x - 2)² + (y + 1)² - 5 = -5
(x - 2)² + (y + 1)² = 0
- Решение уравнения: Уравнение (x - 2)² + (y + 1)² = 0 имеет решение только в том случае, если оба квадрата равны нулю:
- (x - 2)² = 0 → x - 2 = 0 → x = 2
- (y + 1)² = 0 → y + 1 = 0 → y = -1
- Ответ: Таким образом, единственное решение данного уравнения:
(x, y) = (2, -1)