Давайте разберемся с данной задачей и докажем, что существует число, состоящее только из единиц, которое делится на натуральное число N, не делящееся ни на 2, ни на 5.

Шаг 1: Определим, что такое число, состоящее только из единиц.

Число, состоящее только из единиц, можно записать в виде:

• 1,
• 11,
• 111,
• 1111,
• и так далее.

Каждое из этих чисел можно представить как сумму степеней десятки:

Например, число 111 можно записать как 1 * 10^2 + 1 * 10^1 + 1 * 10^0.

Шаг 2: Рассмотрим числа вида R(k) = (10^k - 1) / 9, где k - количество единиц.

Это выражение дает нам число, состоящее только из k единиц. Например:

• R(1) = 1,
• R(2) = 11,
• R(3) = 111,
• и так далее.

Шаг 3: Рассмотрим остатки от деления R(k) на N.

Поскольку N не делится ни на 2, ни на 5, мы можем утверждать, что N не имеет общих делителей с 10. Это значит, что числа 10 и N являются взаимно простыми.

Шаг 4: Применим принцип Дирихле.

Согласно принципу Дирихле, если у нас есть N различных остатков при делении на N, и мы будем рассматривать последовательность остатков от деления R(1), R(2), ..., R(N), то среди этих остатков обязательно найдется хотя бы один остаток, который равен нулю.

Шаг 5: Заключение.

Это значит, что существует такое k, для которого R(k) делится на N. Таким образом, мы доказали, что существует число, состоящее только из единиц, которое делится на N.

Таким образом, мы пришли к выводу, что для любого натурального числа N, не делящегося на 2 и 5, действительно существует число, состоящее только из единиц, которое делится на N.