В прямоугольнике ABCD есть точки M и N, которые делят сторону BC на 3 равные части. Точка K находится в середине стороны AD. Отрезки MK и NK пересекают диагональ BD в точках P и Q. Какова площадь треугольника PQK, если площадь прямоугольника ABCD составляет 70?

Математика 9 класс Площадь треугольника площадь треугольника PQK прямоугольник ABCD точки M и N отрезки MK и NK диагональ BD геометрия задачи по математике Новый

Чтобы найти площадь треугольника PQK, давайте сначала определим некоторые характеристики прямоугольника ABCD и расположение точек M, N и K.

Пусть прямоугольник ABCD имеет следующие координаты:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, b)
• D(0, b)

Площадь прямоугольника ABCD равна a * b, и по условию задачи она составляет 70, то есть:

a * b = 70

Теперь определим координаты точек M и N, которые делят сторону BC на 3 равные части:

• M(a, b/3)
• N(a, 2b/3)

Точка K находится в середине стороны AD, поэтому ее координаты:

K(0, b/2)

Теперь найдем уравнения отрезков MK и NK:

1. Найдем уравнение отрезка MK:

• Координаты M: (a, b/3)
• Координаты K: (0, b/2)

Сначала найдем угловой коэффициент (k) отрезка MK:

k_MK = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (b/2 - b/3) / (0 - a) = (3b - 2b) / (6a) = b / (6a)

Теперь уравнение отрезка MK в точке M:

y - b/3 = (b / (6a))(x - a)

2. Найдем уравнение отрезка NK:

• Координаты N: (a, 2b/3)
• Координаты K: (0, b/2)

Угловой коэффициент отрезка NK:

k_NK = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (b/2 - 2b/3) / (0 - a) = (3b - 4b) / (6a) = -b / (6a)

Уравнение отрезка NK в точке N:

y - 2b/3 = (-b / (6a))(x - a)

Теперь найдем уравнение диагонали BD:

• Координаты B: (a, 0)
• Координаты D: (0, b)

Угловой коэффициент диагонали BD:

k_BD = (b - 0) / (0 - a) = -b / a

Уравнение диагонали BD:

y = (-b / a)x + b

Теперь нам нужно найти точки P и Q, где отрезки MK и NK пересекают диагональ BD.

Решая систему уравнений для MK и BD, а затем для NK и BD, мы найдем координаты точек P и Q.

После нахождения координат P и Q, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника PQK:

Площадь = 0.5 * |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Однако, чтобы упростить задачу, можно заметить, что треугольник PQK является частью прямоугольника, и его площадь можно выразить через площадь прямоугольника ABCD.

Так как M и N делят сторону BC на 3 равные части, а K - середина AD, то треугольник PQK занимает 1/6 площади прямоугольника ABCD:

Площадь треугольника PQK = 1/6 * 70 = 70 / 6 = 35 / 3

Таким образом, площадь треугольника PQK составляет:

35 / 3 или приблизительно 11.67.