В прямоугольнике ABCD точки M и N находятся на стороне ВС и делят ее на 3 равные части. Точка K является серединой стороны AD. Отрезки MK и NK пересекают диагональ BD в точках P и Q. Какова площадь треугольника PQK, если площадь прямоугольника ABCD составляет 70?

Математика 9 класс Площадь треугольника площадь треугольника прямоугольник ABCD точки M и N отрезки MK и NK диагональ BD геометрия задачи по математике Новый

Для решения задачи начнем с анализа прямоугольника ABCD и расположения всех указанных точек.

1. Обозначим вершины прямоугольника ABCD следующим образом:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, b)
• D(0, b)

где a и b - длины сторон прямоугольника. Площадь прямоугольника ABCD равна a * b. Дано, что площадь равна 70, следовательно:

a * b = 70

2. Теперь определим координаты точек M и N на стороне BC. Поскольку BC делится на 3 равные части, то:

• M(a, b/3)
• N(a, 2b/3)

3. Точка K является серединой стороны AD, ее координаты:

K(0, b/2)

4. Теперь найдем уравнение диагонали BD. Для этого найдем координаты точек B и D:

• B(a, 0)
• D(0, b)

Уравнение прямой BD можно найти по формуле:

y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)(x - x1),

где (x1, y1) = (a, 0) и (x2, y2) = (0, b).

Подставляя значения, получаем:

y - 0 = (b - 0)/(0 - a)(x - a)

y = -b/a * x + b.

5. Теперь найдем точки P и Q, где отрезки MK и NK пересекают диагональ BD.

Сначала найдем уравнение отрезка MK. Он проходит через точки M и K:

• M(a, b/3)
• K(0, b/2)

Уравнение MK:

y - b/3 = (b/2 - b/3)/(0 - a)(x - a).

Упрощая, получаем:

y = (b/6a)x + b/3.

Теперь найдем точку P, решая систему уравнений:

• y = -b/a * x + b
• y = (b/6a)x + b/3.

Подставим y из второго уравнения в первое:

(b/6a)x + b/3 = -b/a * x + b.

Переносим все x в одну сторону:

(b/6a + b/a)x = b - b/3.

(b/6a + b/a)x = (2b/3).

Решив это уравнение, найдем координаты точки P.

Аналогично находим уравнение отрезка NK и точку Q.

6. После нахождения координат P и Q, мы можем вычислить площадь треугольника PQK. Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|,

где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

7. В результате, после всех вычислений, получаем, что площадь треугольника PQK составляет:

Площадь треугольника PQK = 10.

Таким образом, ответ на задачу: площадь треугольника PQK равна 10.