В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6 см. Его катеты вместе с гипотенузой образуют арифметическую прогрессию. Как найти площадь треугольника и радиус вписанной в него окружности?

Математика 9 класс Треугольники и их свойства прямоугольный треугольник гипотенуза 6 см катеты арифметическая прогрессия площадь треугольника радиус вписанной окружности Новый

Для решения задачи начнем с того, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6 см, а катеты образуют арифметическую прогрессию с гипотенузой.

Обозначим длины катетов как a и b. Поскольку гипотенуза равна 6, мы можем записать:

• a < b < 6

Поскольку катеты образуют арифметическую прогрессию с гипотенузой, можно представить их как:

• a = x
• b = x + d
• где d - разность арифметической прогрессии.

Так как у нас есть гипотенуза, то по свойству прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

• x² + (x + d)² = 6²

Раскроем скобки:

• x² + (x² + 2xd + d²) = 36

Соберем подобные:

• 2x² + 2xd + d² = 36

Теперь мы знаем, что a и b должны быть равны:

• a + b = 6

Подставим a и b:

• x + (x + d) = 6

Это упрощается до:

• 2x + d = 6

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1. 2x² + 2xd + d² = 36
• 2. 2x + d = 6

Из второго уравнения выразим d:

• d = 6 - 2x

Подставим d в первое уравнение:

• 2x² + 2x(6 - 2x) + (6 - 2x)² = 36

Раскроем скобки:

• 2x² + 12x - 4x² + 36 - 24x + 4x² = 36

Соберем подобные:

• 2x² - 12x + 36 - 36 = 0
• 2x² - 12x = 0

Факторизуем:

• 2x(x - 6) = 0

Отсюда получаем x = 0 или x = 6. Поскольку x не может быть равен 0, то x = 6.

Теперь подставим значение x обратно в уравнение для d:

• d = 6 - 2*3 = 0

Таким образом, катеты равны:

• a = 3 см
• b = 3 см

Теперь найдем площадь треугольника:

• Площадь = (1/2) * a * b = (1/2) * 3 * 3 = 4.5 см².

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Формула для радиуса вписанной окружности (r) прямоугольного треугольника:

• r = (a + b - c) / 2

Где c - гипотенуза. Подставим значения:

• r = (3 + 3 - 6) / 2 = 0 / 2 = 0.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 0 см, что указывает на то, что треугольник вырожденный.

Итак, подводя итог:

• Площадь треугольника = 4.5 см².
• Радиус вписанной окружности = 0 см.