В схеме испытаний Бернулли из 5 испытаний вероятность исхода (1,0,1,0,1) оказалась равна 72/3125. Какова вероятность неудачи в данной схеме испытаний, если известно, что это рациональное число?

Математика 9 класс Вероятность и статистика математика 9 класс схема испытаний Бернулли вероятность исхода вероятность неудачи рациональное число вероятность комбинаторика статистика задачи на вероятность математический анализ Новый

Для решения задачи нам необходимо определить вероятность неудачи в схеме испытаний Бернулли. Давайте обозначим:

• p - вероятность успеха (исхода 1),
• q - вероятность неудачи (исхода 0),

Мы знаем, что в каждом испытании сумма вероятностей успеха и неудачи равна 1, то есть:

p + q = 1

В данной задаче мы имеем 5 испытаний, и последовательность исходов (1,0,1,0,1) состоит из 3 успехов и 2 неудач. Вероятность такого исхода можно выразить через формулу вероятности для схемы Бернулли:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

где:

• C(n, k) - числовой коэффициент (число сочетаний), равный n! / (k! * (n-k)!),
• n - общее количество испытаний (в нашем случае n = 5),
• k - количество успехов (в нашем случае k = 3).

Сначала найдем C(5, 3):

C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10

Теперь подставим известные значения в формулу вероятности:

P(X = 3) = 10 * p^3 * q^2

Согласно условию, эта вероятность равна 72/3125:

10 * p^3 * q^2 = 72/3125

Поделим обе стороны на 10:

p^3 * q^2 = 72 / (10 * 3125) = 72 / 31250

Теперь подставим q = 1 - p:

p^3 * (1 - p)^2 = 72 / 31250

Теперь мы можем решить это уравнение для p. Однако, чтобы упростить задачу, попробуем подставить некоторые рациональные значения для p и q, так как нам известно, что это рациональные числа.

Пусть p = 3/5. Тогда q = 1 - p = 2/5.

Теперь проверим, подходит ли это значение:

(3/5)^3 * (2/5)^2 = (27/125) * (4/25) = 108/3125

Это не совпадает, поэтому попробуем другое значение. Пусть p = 2/5, тогда q = 3/5:

(2/5)^3 * (3/5)^2 = (8/125) * (9/25) = 72/3125

Теперь это совпадает с нашим уравнением!

Таким образом, мы нашли, что:

p = 2/5 и q = 3/5

Итак, вероятность неудачи в данной схеме испытаний равна 3/5.