Вопрос: По кругу расположены 100 чисел. Известно, что каждое число является средним арифметическим двух соседей. Как можно доказать, что все числа одинаковы?

Математика 9 класс Системы линейных уравнений математика 9 класс круг 100 чисел среднее арифметическое доказательство одинаковые числа соседние числа свойства средних арифметическая прогрессия задачи по математике Новый

Давайте разберем задачу и докажем, что все 100 чисел, расположенные по кругу, являются одинаковыми. Начнем с того, что нам известно, что каждое число является средним арифметическим двух соседей.

Шаг 1: Рассмотрим случай, когда все числа равны.

• Если все числа равны, например, равны X, то, по определению среднего арифметического, мы получаем: (X + X) / 2 = X. Этот случай очевиден и является решением задачи.

Шаг 2: Предположим обратное.

• Предположим, что не все числа равны между собой. В таком случае среди 100 чисел обязательно найдется наибольшее число, обозначим его X.

Шаг 3: Рассмотрим соседей наибольшего числа.

• Соседями числа X будут два числа, которые мы обозначим как Y1 и Y2 (Y1 - слева от X, Y2 - справа от X).
• Если оба соседа Y1 и Y2 меньше X, то их среднее арифметическое (Y1 + Y2) / 2 также будет меньше X, что противоречит условию задачи, поскольку X должен быть равен среднему арифметическому своих соседей.
• Таким образом, ни один из соседей не может быть больше X, иначе мы бы снова пришли к противоречию.

Шаг 4: Выводим равенство соседей.

• Раз ни один из соседей не может быть больше X, это означает, что по крайней мере один из них (или оба) должен быть равен X.
• Если, например, Y1 = X, то, подставляя его в уравнение (X + Y2) / 2 = X, мы получаем, что Y2 также должно быть равно X.
• Аналогично, если Y2 = X, то Y1 также будет равно X.

Шаг 5: Заключение.

• Таким образом, мы пришли к выводу, что если одно число равно X, то все его соседи также равны X.
• Поскольку числа расположены по кругу, это равенство будет распространяться на все числа.

В итоге, мы доказали, что все 100 чисел равны между собой, что и требовалось доказать.