вычислить пределы

19. lim

     7x² - x - 6,

     x_o = ∞; 1; 2.

№3. Найти пределы функций:

Математика Колледж Пределы функций пределы функций вычисление пределов математика колледж пределы lim предел при бесконечности пределы 7x2 - x - 6 Новый

Чтобы вычислить предел функции

lim (7x² - x - 6) / (3x² + 4x - 7) при x → x₀, где x₀ = ∞, 1, 2, давайте рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Предел при x → ∞

• Для нахождения предела при x → ∞, нужно обратить внимание на высшие степени в числителе и знаменателе.
• Числитель: 7x² - x - 6 (высшая степень x²).
• Знаменатель: 3x² + 4x - 7 (высшая степень x²).
• Теперь можем упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на x²:
• (7 - (1/x) - (6/x²)) / (3 + (4/x) - (7/x²)).
• При x → ∞, (1/x) и (6/x²) стремятся к 0.
• Таким образом, предел будет:
• lim (7 - 0 - 0) / (3 + 0 - 0) = 7/3.

2. Предел при x → 1

• Подставим x = 1 в функцию:
• Числитель: 7(1)² - 1 - 6 = 7 - 1 - 6 = 0.
• Знаменатель: 3(1)² + 4(1) - 7 = 3 + 4 - 7 = 0.
• Получаем неопределенность 0/0, поэтому применяем правило Лопиталя.
• Находим производные числителя и знаменателя:
• Числитель: d/dx(7x² - x - 6) = 14x - 1.
• Знаменатель: d/dx(3x² + 4x - 7) = 6x + 4.
• Теперь подставляем x = 1:
• Числитель: 14(1) - 1 = 13.
• Знаменатель: 6(1) + 4 = 10.
• Таким образом, предел при x → 1 равен 13/10.

3. Предел при x → 2

• Подставим x = 2 в функцию:
• Числитель: 7(2)² - 2 - 6 = 28 - 2 - 6 = 20.
• Знаменатель: 3(2)² + 4(2) - 7 = 12 + 8 - 7 = 13.
• Предел при x → 2 равен 20/13.

Итог:

• lim при x → ∞ = 7/3.
• lim при x → 1 = 13/10.
• lim при x → 2 = 20/13.