Как можно определить предел при x, стремящемся к бесконечности, для выражения ((5x + 8)/(x - 2)) ^ (x + 4), не применяя правило Лопиталя?

Математика Колледж Пределы функций предел при x стремящемся к бесконечности выражение ((5x + 8)/(x - 2)) не применять правило Лопиталя математика 12 класс предел функции анализ пределов Новый

Чтобы определить предел выражения ((5x + 8)/(x - 2)) ^ (x + 4) при x, стремящемся к бесконечности, мы можем воспользоваться некоторыми алгебраическими преобразованиями и свойствами пределов.

Шаги решения следующие:

1. Упростим дробь внутри выражения:
• Рассмотрим дробь (5x + 8)/(x - 2). При стремлении x к бесконечности, мы можем игнорировать меньшие по порядку члены.
• Таким образом, (5x + 8)/(x - 2) приближается к 5/1 = 5.
2. Запишем предел:
• Теперь мы можем переписать предел как lim (x -> ∞) ((5x + 8)/(x - 2)) ^ (x + 4).
• Поскольку дробь стремится к 5, мы можем записать это как lim (x -> ∞) 5^(x + 4).
3. Рассмотрим поведение выражения 5^(x + 4):
• При x, стремящемся к бесконечности, x + 4 также стремится к бесконечности.
• Следовательно, 5^(x + 4) будет стремиться к бесконечности, так как основание 5 больше 1.
4. Записываем окончательный ответ:
• Таким образом, предел выражения ((5x + 8)/(x - 2)) ^ (x + 4) при x, стремящемся к бесконечности равен бесконечности.

Итак, мы можем заключить, что:

lim (x -> ∞) ((5x + 8)/(x - 2)) ^ (x + 4) = ∞.