Каковы пределы функции lim x -> ∞ ((2x - 1)/(2x + 4)) ^ (- x) при стремлении x к бесконечности?

Математика Колледж Пределы функций пределы функции лимит функции математика предел при x к бесконечности анализ пределов Новый

Ответ:

lim x -> ∞ ((2x - 1)/(2x + 4)) ^ (- x) = e^(5/2) = √(e^5)

Пошаговое объяснение:

Задание:

Необходимо найти предел функции lim x -> ∞ ((2x - 1)/(2x + 4)) ^ (- x).

Решение:

1. Сначала упростим выражение внутри предела. Мы можем переписать его следующим образом:

lim x -> ∞ ((2x - 1)/(2x + 4)) ^ (- x) = lim x -> ∞ ((2x + 4)/(2x - 1)) ^ x.

2. Теперь нам нужно найти предел lim x -> ∞ ((2x + 4)/(2x - 1)) ^ x. Для этого мы можем воспользоваться свойством экспоненты:

lim x -> ∞ ((2x + 4)/(2x - 1)) ^ x = lim x -> ∞ e^(x * ln((2x + 4)/(2x - 1))).

3. Теперь найдем предел x * ln((2x + 4)/(2x - 1)) при x стремящемся к бесконечности:

ln((2x + 4)/(2x - 1)) = ln(1 + (5/(2x - 1))) (так как 2x + 4 = 2x - 1 + 5).

4. При x стремящемся к бесконечности, 5/(2x - 1) стремится к 0. Используем приближение ln(1 + u) ≈ u для u, стремящегося к 0:

ln(1 + (5/(2x - 1))) ≈ 5/(2x - 1).

5. Теперь подставим это обратно в предел:

lim x -> ∞ x * ln((2x + 4)/(2x - 1)) ≈ lim x -> ∞ x * (5/(2x - 1)).

6. Это выражение можно упростить:

lim x -> ∞ (5x/(2x - 1)) = lim x -> ∞ (5/(2 - 1/x)) = 5/2 (так как 1/x стремится к 0 при x стремящемся к бесконечности).

7. Теперь мы можем подставить полученное значение в экспоненту:

lim x -> ∞ e^(x * ln((2x + 4)/(2x - 1))) = e^(5/2).

8. Таким образом, окончательный ответ:

lim x -> ∞ ((2x - 1)/(2x + 4)) ^ (- x) = e^(5/2) = √(e^5).

Таким образом, мы пришли к результату, что предел данной функции при x, стремящемся к бесконечности, равен √(e^5).