Задача №3: Найти предел функции:

lim (x→2) (√(4x + 1) - 3) / (x - 2).

Шаг 1: Подставим x = 2 в выражение.

• √(4*2 + 1) - 3 = √(8 + 1) - 3 = √9 - 3 = 3 - 3 = 0.
• В знаменателе: 2 - 2 = 0.

Получается неопределенность вида 0/0. Нужно использовать правило Лопиталя.

Шаг 2: Применим правило Лопиталя, которое гласит, что если предел имеет вид 0/0 или ∞/∞, то можно взять производные числителя и знаменателя.

• Числитель: (√(4x + 1) - 3)'. Используем производную: (1/2)(4x + 1)^(-1/2) * 4 = 2 / √(4x + 1).
• Знаменатель: (x - 2)' = 1.

Шаг 3: Теперь мы можем найти новый предел:

lim (x→2) (2 / √(4x + 1)).

• Подставляем x = 2: 2 / √(4*2 + 1) = 2 / √9 = 2 / 3.

Ответ: Предел равен 2/3.

Задача №4: Найти предел функции:

lim (x→0) (sin 4x) / (tg 3x).

Шаг 1: Подставим x = 0 в выражение.

• sin(4*0) = sin(0) = 0.
• tg(3*0) = tg(0) = 0.

Также получаем неопределенность 0/0. Применим правило Лопиталя.

Шаг 2: Найдем производные числителя и знаменателя.

• Числитель: (sin(4x))' = 4cos(4x).
• Знаменатель: (tg(3x))' = 3sec^2(3x).

Шаг 3: Теперь находим новый предел:

lim (x→0) (4cos(4x)) / (3sec^2(3x)).

• Подставляем x = 0: (4cos(0)) / (3sec^2(0)) = (4*1) / (3*1) = 4/3.

Ответ: Предел равен 4/3.