Как можно определить первоначальную функцию для f(x)=x^3*sin(2x)?

Математика Колледж Неопределённый интеграл определение первоначальной функции f(x)=x^3*sin(2x) интегрирование функции математика 12 класс нахождение интеграла Новый

Чтобы найти первоначальную функцию для функции f(x) = x^3 * sin(2x), нам нужно выполнить интегрирование. Первоначальная функция, или неопределенный интеграл, обозначается как ∫f(x)dx. В данном случае мы ищем ∫(x^3 * sin(2x))dx.

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования;
• du - производная функции u;
• v - интеграл функции dv.

Теперь давайте выберем:

• u = x^3 (что мы будем дифференцировать);
• dv = sin(2x)dx (что мы будем интегрировать).

Теперь вычислим du и v:

• du = 3x^2 dx (производная x^3);
• v = -1/2 * cos(2x) (интеграл от sin(2x)).

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫(x^3 * sin(2x))dx = u*v - ∫v du

Подставляем значения:

∫(x^3 * sin(2x))dx = x^3 * (-1/2 * cos(2x)) - ∫(-1/2 * cos(2x)) * (3x^2)dx

Упрощаем:

∫(x^3 * sin(2x))dx = -1/2 * x^3 * cos(2x) + (3/2) ∫(x^2 * cos(2x))dx

Теперь нам нужно снова применить интегрирование по частям для ∫(x^2 * cos(2x))dx. Выбираем:

• u = x^2;
• dv = cos(2x)dx.

Вычисляем du и v:

• du = 2x dx;
• v = 1/2 * sin(2x).

Теперь подставляем в формулу:

∫(x^2 * cos(2x))dx = x^2 * (1/2 * sin(2x)) - ∫(1/2 * sin(2x)) * (2x)dx

Упрощаем:

∫(x^2 * cos(2x))dx = 1/2 * x^2 * sin(2x) - ∫x * sin(2x)dx

Теперь нам нужно найти ∫(x * sin(2x))dx, и снова применим интегрирование по частям:

• u = x;
• dv = sin(2x)dx.

Вычисляем du и v:

• du = dx;
• v = -1/2 * cos(2x).

Подставляем:

∫(x * sin(2x))dx = x * (-1/2 * cos(2x)) - ∫(-1/2 * cos(2x))dx

Упрощаем:

∫(x * sin(2x))dx = -1/2 * x * cos(2x) + 1/2 ∫cos(2x)dx

Интеграл ∫cos(2x)dx равен 1/2 * sin(2x), поэтому:

∫(x * sin(2x))dx = -1/2 * x * cos(2x) + 1/4 * sin(2x)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для ∫(x^2 * cos(2x))dx:

∫(x^2 * cos(2x))dx = 1/2 * x^2 * sin(2x) - (-1/2 * x * cos(2x) + 1/4 * sin(2x))

Упрощаем:

∫(x^2 * cos(2x))dx = 1/2 * x^2 * sin(2x) + 1/2 * x * cos(2x) - 1/4 * sin(2x)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для ∫(x^3 * sin(2x))dx:

∫(x^3 * sin(2x))dx = -1/2 * x^3 * cos(2x) + (3/2) * (1/2 * x^2 * sin(2x) + 1/2 * x * cos(2x) - 1/4 * sin(2x))

После упрощения мы получим первоначальную функцию:

F(x) = -1/2 * x^3 * cos(2x) + (3/4) * x^2 * sin(2x) + (3/4) * x * cos(2x) - (3/8) * sin(2x) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, первоначальная функция для f(x) = x^3 * sin(2x) равна:

F(x) = -1/2 * x^3 * cos(2x) + (3/4) * x^2 * sin(2x) + (3/4) * x * cos(2x) - (3/8) * sin(2x) + C