Как можно решить уравнение 2sin(2x) + cos(x) + 4sin(x) + 1 = 0?

Математика Колледж Тригонометрические уравнения решение уравнения тригонометрические функции 2sin(2x) cos(x) 4sin(x) математические уравнения методы решения уравнений анализ уравнения математический анализ Новый

Для решения уравнения 2sin(2x) + cos(x) + 4sin(x) + 1 = 0, давайте сначала упростим его, используя тригонометрические тождества.

Шаг 1: Упростим sin(2x)

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Таким образом, 2sin(2x) можно переписать как:

• 2sin(2x) = 2 * 2sin(x)cos(x) = 4sin(x)cos(x).

Теперь подставим это в уравнение:

4sin(x)cos(x) + cos(x) + 4sin(x) + 1 = 0.

Шаг 2: Соберем подобные члены

Сгруппируем все члены уравнения:

• (4sin(x)cos(x) + cos(x)) + (4sin(x) + 1) = 0.

Шаг 3: Вынесем cos(x) за скобки

Теперь можно вынести cos(x) из первых двух членов:

• cos(x)(4sin(x) + 1) + (4sin(x) + 1) = 0.

Шаг 4: Вынесем общий множитель

Теперь мы видим, что (4sin(x) + 1) является общим множителем:

• (4sin(x) + 1)(cos(x) + 1) = 0.

Шаг 5: Найдем корни уравнения

Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

1. 4sin(x) + 1 = 0
2. cos(x) + 1 = 0

Решение первого уравнения:

• 4sin(x) + 1 = 0
• 4sin(x) = -1
• sin(x) = -1/4.

Теперь мы можем найти x, используя арксинус:

• x = arcsin(-1/4) + 2kπ, где k - целое число.
• Также учитываем вторую четверть: x = π - arcsin(-1/4) + 2kπ.

Решение второго уравнения:

• cos(x) + 1 = 0
• cos(x) = -1.

Это уравнение имеет решение:

• x = π + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 6: Запишем общее решение

Таким образом, общее решение уравнения 2sin(2x) + cos(x) + 4sin(x) + 1 = 0 будет:

• x = arcsin(-1/4) + 2kπ,
• x = π - arcsin(-1/4) + 2kπ,
• x = π + 2kπ.

Где k - любое целое число. Это и есть все возможные решения данного уравнения.