Решите уравнение: sin^4(π/16) + sin^4(3π/16) + sin^4(5π/16) + sin^4(7π/16).

Математика Колледж Тригонометрические уравнения уравнение синус математика решение Тригонометрия sin^4 π/16 3π/16 5π/16 7π/16 Новый

Для решения уравнения sin^4(π/16) + sin^4(3π/16) + sin^4(5π/16) + sin^4(7π/16) мы будем использовать некоторые тригонометрические свойства и формулы.

Сначала заметим, что выражение состоит из четырех слагаемых, каждое из которых является четвертой степенью синуса. Мы можем использовать формулу для преобразования четвертой степени синуса:

sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2 = 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)

Таким образом, мы можем переписать каждое слагаемое:

• sin^4(π/16) = 1 - 2cos^2(π/16) + cos^4(π/16)
• sin^4(3π/16) = 1 - 2cos^2(3π/16) + cos^4(3π/16)
• sin^4(5π/16) = 1 - 2cos^2(5π/16) + cos^4(5π/16)
• sin^4(7π/16) = 1 - 2cos^2(7π/16) + cos^4(7π/16)

Теперь, суммируя эти выражения, мы получаем:

sin^4(π/16) + sin^4(3π/16) + sin^4(5π/16) + sin^4(7π/16) = 4 - 2(cos^2(π/16) + cos^2(3π/16) + cos^2(5π/16) + cos^2(7π/16)) + (cos^4(π/16) + cos^4(3π/16) + cos^4(5π/16) + cos^4(7π/16))

Теперь обратим внимание на то, что cos^2(θ) и sin^2(θ) связаны между собой, и мы можем использовать симметрию этих функций. Например, cos(π/16) = sin(7π/16) и так далее.

Следовательно, можно заметить, что значения cos^2(π/16) и cos^2(3π/16) будут равны значениям sin^2(7π/16) и sin^2(5π/16) соответственно.

В итоге, для упрощения, мы можем воспользоваться тем, что сумма cos^2 и sin^2 в пределах одного периода синусоидальных функций равна 1. Таким образом, мы можем выразить сумму и подставить значения:

Сумма cos^2 и sin^2 для всех углов равна 2, так как у нас 4 угла, и каждый угол вносит по 0.5 в итоговую сумму.

Теперь, подставив все найденные значения, мы можем вычислить:

sin^4(π/16) + sin^4(3π/16) + sin^4(5π/16) + sin^4(7π/16) = 4 - 2*2 + (cos^4(π/16) + cos^4(3π/16) + cos^4(5π/16) + cos^4(7π/16))

После упрощения, мы приходим к окончательному значению:

Результат: sin^4(π/16) + sin^4(3π/16) + sin^4(5π/16) + sin^4(7π/16) = 2