Как найти интеграл методом подстановки для выражения ∫ √(4−9х²)?

Математика Колледж Интегралы интеграл методом подстановки √(4−9х²) нахождение интеграла математика 12 класс интегралы в математике Новый

Для нахождения интеграла ∫ √(4−9х²) dx методом подстановки, мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Давайте разберем шаги решения.

1. Выбор подстановки: Заметим, что выражение под корнем имеет форму 4 - (3x)². Это напоминает тригонометрическую идентичность 1 - sin²(θ) = cos²(θ). Мы можем использовать подстановку x = (2/3)sin(θ), так как тогда 9x² = 4sin²(θ).
2. Находим производную: Для подстановки x = (2/3)sin(θ) находим производную:
   • dx = (2/3)cos(θ) dθ
3. Подстановка в интеграл: Теперь подставим x и dx в интеграл:
   • Когда x = (2/3)sin(θ), то 4 - 9x² = 4 - 9((2/3)sin(θ))² = 4 - 4sin²(θ) = 4(1 - sin²(θ)) = 4cos²(θ).
   • Таким образом, √(4 - 9x²) = √(4cos²(θ)) = 2|cos(θ)|. Но в пределах, которые нас интересуют, cos(θ) будет положительным, поэтому √(4 - 9x²) = 2cos(θ).
4. Заменяем интеграл: Теперь подставляем все в наш интеграл:
   • ∫ √(4−9x²) dx = ∫ 2cos(θ) * (2/3)cos(θ) dθ = (4/3) ∫ cos²(θ) dθ.
5. Интегрирование: Используем формулу для интеграла cos²(θ):
   • cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2.
   • Таким образом, ∫ cos²(θ) dθ = ∫ (1 + cos(2θ))/2 dθ = (1/2)θ + (1/4)sin(2θ) + C.
6. Возвращаемся к переменной x: Теперь нужно выразить θ через x. Изначально мы использовали подстановку x = (2/3)sin(θ), следовательно, sin(θ) = (3/2)x, а значит θ = arcsin((3/2)x). Теперь подставим θ обратно в интеграл:
   • ∫ √(4−9x²) dx = (4/3)((1/2)arcsin((3/2)x) + (1/4)sin(2arcsin((3/2)x))) + C.
7. Упрощение: Для sin(2arcsin((3/2)x)) можно воспользоваться формулой двойного угла:
   • sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ),
   • где sin(θ) = (3/2)x и cos(θ) = √(1 - (3/2)²x²) = √(1 - (9/4)x²).

В итоге, мы можем выразить интеграл в более удобной форме, но это требует дополнительных преобразований. Однако основные шаги по нахождению интеграла методом подстановки мы рассмотрели.