Как вычислить интеграл √(3x + 6) dx?

Математика Колледж Интегралы вычисление интеграла интеграл √(3x + 6) dx математика 12 класс методы интегрирования примеры интегралов Новый

Чтобы вычислить интеграл √(3x + 6) dx, следуем нескольким шагам:

1. Упрощение под интегралом: Начнем с того, что у нас есть выражение под корнем: 3x + 6. Мы можем вынести константу за пределы корня:
• √(3x + 6) = √3 * √(x + 2)
2. Подстановка: Чтобы упростить интеграл, используем подстановку. Пусть u = 3x + 6. Тогда, чтобы найти dx, нам нужно выразить его через du:
• du/dx = 3, следовательно, dx = du/3
3. Изменение пределов: Теперь заменим x на u в нашем интеграле:
• √(3x + 6) = √u
• dx = du/3
4. Записываем интеграл: Теперь наш интеграл выглядит так:
• ∫√u * (du/3) = (1/3) ∫√u du
5. Вычисление интеграла: Интеграл √u можно выразить через степень:
• √u = u^(1/2)
• Интеграл ∫u^(1/2) du = (2/3)u^(3/2) + C, где C - константа интегрирования.
6. Подстановка обратно: Теперь возвращаемся к переменной x. Заменяем u обратно на 3x + 6:
• (1/3) * (2/3)(3x + 6)^(3/2) + C = (2/9)(3x + 6)^(3/2) + C

Таким образом, окончательный ответ для интеграла √(3x + 6) dx будет:

(2/9)(3x + 6)^(3/2) + C