Чтобы вычислить интеграл ∫₀^π(x*sin(3x) + x²*sin(x)) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод особенно полезен, когда у нас есть произведение функций, как в данном случае.

Давайте разобьем интеграл на две части:

• Первый интеграл: ∫₀^πx*sin(3x) dx
• Второй интеграл: ∫₀^πx²*sin(x) dx

Начнем с первого интеграла ∫₀^πx*sin(3x) dx:

1. Выбираем u = x и dv = sin(3x) dx.
2. Тогда du = dx, а v = -1/3*cos(3x).
3. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
4. Подставляем значения:
5. uv = x*(-1/3*cos(3x)) |₀^π = (-π/3)*cos(3π) - (0)*cos(0) = π/3.
6. Теперь вычисляем ∫v du = ∫(-1/3*cos(3x)) dx = -1/9*sin(3x) |₀^π = -1/9*(sin(3π) - sin(0)) = 0.
7. Таким образом, первый интеграл равен π/3.

Теперь переходим ко второму интегралу ∫₀^πx²*sin(x) dx:

1. Выбираем u = x² и dv = sin(x) dx.
2. Тогда du = 2x dx, а v = -cos(x).
3. Применяем формулу интегрирования по частям:
4. uv = x²*(-cos(x)) |₀^π = (-π²)*cos(π) - (0)*cos(0) = π².
5. Теперь вычисляем ∫v du = ∫(-cos(x))(2x) dx = -2∫x*cos(x) dx.
6. Для интеграла ∫x*cos(x) dx снова применяем интегрирование по частям, выбирая u = x и dv = cos(x) dx.
7. Тогда du = dx, а v = sin(x).
8. Снова применяем формулу: ∫u dv = uv - ∫v du.
9. Подставляем значения: uv = x*sin(x) |₀^π = (π)*sin(π) - (0)*sin(0) = 0.
10. Теперь вычисляем ∫v du = ∫sin(x) dx = -cos(x) |₀^π = -(-1 - 1) = 2.
11. Таким образом, ∫x*cos(x) dx = 0 - 2 = -2.
12. Итак, ∫x²*sin(x) dx = π² + 4.

Теперь можем сложить оба интеграла:

Итак, ∫₀^π(x*sin(3x) + x²*sin(x)) dx = π/3 + (π² + 4).

В итоге, окончательный ответ:

∫₀^π(x*sin(3x) + x²*sin(x)) dx = π/3 + π² + 4.