Для решения уравнения 8 (sin^2) x - 12 cos x = 0, давайте начнем с преобразования его в более удобный вид.

Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности.

Мы знаем, что sin^2 x можно выразить через cos x с помощью тождества:

sin^2 x = 1 - cos^2 x.

Подставим это в наше уравнение:

8 (1 - cos^2 x) - 12 cos x = 0.

Шаг 2: Раскроем скобки.

Теперь раскроем скобки:

8 - 8 cos^2 x - 12 cos x = 0.

Шаг 3: Приведем все к одной стороне уравнения.

Перепишем уравнение в стандартной форме:

-8 cos^2 x - 12 cos x + 8 = 0.

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

8 cos^2 x + 12 cos x - 8 = 0.

Шаг 4: Применим формулу для решения квадратного уравнения.

Теперь это квадратное уравнение относительно cos x. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

ax^2 + bx + c = 0, где a = 8, b = 12, c = -8.

Решение квадратного уравнения дается по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Подставим значения:

• b^2 = 12^2 = 144,
• 4ac = 4 * 8 * (-8) = -256.

Теперь найдем дискриминант:

D = 144 - (-256) = 144 + 256 = 400.

Шаг 5: Найдем корни уравнения.

Теперь подставим D в формулу:

cos x = (-12 ± √400) / (2 * 8).

√400 = 20, следовательно:

cos x = (-12 ± 20) / 16.

Теперь найдем два корня:

• cos x = (8) / 16 = 0.5,
• cos x = (-32) / 16 = -2.

Шаг 6: Найдем значения x.

Теперь нам нужно найти значения x для cos x = 0.5 и cos x = -2.

Для cos x = 0.5, мы знаем, что:

x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Для cos x = -2, такое значение невозможно, так как косинус не может быть больше 1 или меньше -1.

Итак, окончательные решения:

• x = π/3 + 2kπ,
• x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения данного уравнения.