Похожие вопросы
2025-11-11 01:12:43
5. Для ε > 0 найдите δ = δ(ε), которое удовлетворяет условиям равномерной непрерывности функции f(x) на заданном промежутке, если:
- f(x) = x² - 2x - 1, x ∈ [-2; 5];
- f(x) = √x, x ∈ [0; +∞);
- f(x) = 2 sin x - cos x, x ∈ (-∞; +∞).
Математика Университет Равномерная непрерывность функций равномерная непрерывность функция математика ε Δ промежуток f(x) x² - 2x - 1 √x 2 sin x - cos x условия равномерной непрерывности
2025-11-11 01:13:04
Чтобы показать, что функция равномерно непрерывна на заданном промежутке, мы должны найти такое δ > 0 для любого ε > 0, чтобы для любых x₁ и x₂ из промежутка, если |x₁ - x₂| < δ, выполнялось |f(x₁) - f(x₂)| < ε.
Рассмотрим каждую функцию по отдельности:
1. f(x) = x² - 2x - 1, x ∈ [-2; 5]Для начала найдем производную функции:
f'(x) = 2x - 2.
Теперь найдем максимальное значение производной на промежутке [-2; 5]:
- f'(-2) = 2(-2) - 2 = -6;
- f'(5) = 2(5) - 2 = 8.
Так как производная непрерывна, мы можем найти ее максимум на заданном промежутке. Максимальное значение производной на [-2; 5] равно 8.
По теореме о равномерной непрерывности, для любого ε > 0 мы можем выбрать δ = ε/8. Таким образом, если |x₁ - x₂| < δ, то:
|f(x₁) - f(x₂)| ≤ |f'(c)| |x₁ - x₂| < 8 * δ = ε.
2. f(x) = √x, x ∈ [0; +∞)Теперь найдем производную этой функции:
f'(x) = 1/(2√x).
На промежутке [0; +∞) производная стремится к бесконечности, когда x стремится к 0. Однако, мы можем рассмотреть ограниченный промежуток, чтобы гарантировать равномерную непрерывность. Например, на промежутке [a; b], где a > 0:
Тогда максимальное значение производной будет равно 1/(2√a).
Следовательно, для любого ε > 0 мы можем выбрать δ = ε * 2√a. Таким образом, если |x₁ - x₂| < δ, то:
|f(x₁) - f(x₂)| ≤ |f'(c)| |x₁ - x₂| < (1/(2√a)) * δ = ε.
3. f(x) = 2 sin x - cos x, x ∈ (-∞; +∞)Найдем производную:
f'(x) = 2 cos x + sin x.
Эта функция ограничена, так как |f'(x)| ≤ 2 + 1 = 3 для всех x. Таким образом, мы можем использовать это для нахождения δ:
Для любого ε > 0 мы можем выбрать δ = ε/3. Если |x₁ - x₂| < δ, то:
|f(x₁) - f(x₂)| ≤ |f'(c)| |x₁ - x₂| < 3 * δ = ε.
Таким образом, для каждой из указанных функций мы нашли δ, удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности на заданных промежутках:
- Для f(x) = x² - 2x - 1: δ = ε/8;
- Для f(x) = √x: δ = ε * 2√a (где a > 0);
- Для f(x) = 2 sin x - cos x: δ = ε/3.