Чтобы доказать, что функция f(x) = x + sin(x) является равномерно непрерывной на всей оси, нам нужно вспомнить определение равномерной непрерывности.

Определение равномерной непрерывности: Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве D, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых x, y из D, если |x - y| < δ, то |f(x) - f(y)| < ε.

Теперь давайте рассмотрим функцию f(x) = x + sin(x). Мы можем оценить разность f(x) и f(y):

|f(x) - f(y)| = |(x + sin(x)) - (y + sin(y))| = |(x - y) + (sin(x) - sin(y))|.

Теперь воспользуемся неравенством треугольника:

|f(x) - f(y)| ≤ |x - y| + |sin(x) - sin(y)|.

Мы знаем, что функция sin(x) является ограниченной и непрерывной. Это означает, что для любых x и y выполняется следующее:

|sin(x) - sin(y)| ≤ |x - y|.

Таким образом, мы можем записать:

|f(x) - f(y)| ≤ |x - y| + |x - y| = 2|x - y|.

Теперь, чтобы удовлетворить условию равномерной непрерывности, мы можем выбрать δ = ε/2. Тогда, если |x - y| < δ, то:

|f(x) - f(y)| ≤ 2|x - y| < 2(ε/2) = ε.

Таким образом, мы показали, что для любого ε > 0 существует δ > 0 (в данном случае δ = ε/2), такое что для любых x и y, если |x - y| < δ, то |f(x) - f(y)| < ε.

Следовательно, функция f(x) = x + sin(x) является равномерно непрерывной на всей оси от минус бесконечности до плюс бесконечности.