Какова вероятность того, что студент сдаст четыре экзамена, если его готовность к каждому из них составляет: 80% для первого, 75% для второго, 65% для третьего и 50% для четвертого? Нужно найти вероятность: а) сдачи всех четырех экзаменов; б) сдачи хотя бы одного экзамена; в) сдачи не менее двух экзаменов. (желательно с решением)

Математика Университет Вероятность и статистика вероятность сдачи экзаменов математические задачи статистика теория вероятностей экзамены готовность к экзаменам решение задач по математике вероятностные события Новый

Для решения задачи нам нужно использовать понятие вероятности. Вероятность успешной сдачи экзамена обозначается как p, а вероятность неуспешной сдачи как q, где q = 1 - p.

Давайте обозначим вероятности сдачи экзаменов:

• Первый экзамен: p1 = 0.8, q1 = 1 - p1 = 0.2
• Второй экзамен: p2 = 0.75, q2 = 1 - p2 = 0.25
• Третий экзамен: p3 = 0.65, q3 = 1 - p3 = 0.35
• Четвертый экзамен: p4 = 0.5, q4 = 1 - p4 = 0.5

а) Вероятность сдачи всех четырех экзаменов:

Для того чтобы найти вероятность сдачи всех экзаменов, необходимо перемножить вероятности сдачи каждого экзамена:

P(сдача всех) = p1 * p2 * p3 * p4

Подставляем значения:

P(сдача всех) = 0.8 * 0.75 * 0.65 * 0.5

Теперь вычислим:

• 0.8 * 0.75 = 0.6
• 0.6 * 0.65 = 0.39
• 0.39 * 0.5 = 0.195

Таким образом, вероятность сдачи всех четырех экзаменов составляет 0.195 или 19.5%.

б) Вероятность сдачи хотя бы одного экзамена:

Вероятность сдачи хотя бы одного экзамена можно найти, используя формулу:

P(хотя бы один) = 1 - P(ни одного)

Сначала найдем вероятность не сдачи ни одного экзамена, что можно получить, перемножив вероятности не сдачи каждого экзамена:

P(ни одного) = q1 * q2 * q3 * q4

Подставляем значения:

P(ни одного) = 0.2 * 0.25 * 0.35 * 0.5

Вычисляем:

• 0.2 * 0.25 = 0.05
• 0.05 * 0.35 = 0.0175
• 0.0175 * 0.5 = 0.00875

Теперь можем найти вероятность сдачи хотя бы одного экзамена:

P(хотя бы один) = 1 - 0.00875 = 0.99125

Таким образом, вероятность сдачи хотя бы одного экзамена составляет 0.99125 или 99.125%.

в) Вероятность сдачи не менее двух экзаменов:

Для нахождения этой вероятности нам нужно вычесть из 1 вероятности того, что студент сдаст 0 или 1 экзамен:

P(не менее двух) = 1 - (P(0) + P(1))

Мы уже нашли P(0), теперь найдем P(1).

Для нахождения вероятности сдачи ровно одного экзамена, используем формулу:

P(1) = (p1 * q2 * q3 * q4) + (q1 * p2 * q3 * q4) + (q1 * q2 * p3 * q4) + (q1 * q2 * q3 * p4)

Теперь подставим значения:

• P(1) = (0.8 * 0.25 * 0.35 * 0.5) + (0.2 * 0.75 * 0.35 * 0.5) + (0.2 * 0.25 * 0.65 * 0.5) + (0.2 * 0.25 * 0.35 * 0.5)

Вычислим каждую часть:

• 0.8 * 0.25 * 0.35 * 0.5 = 0.035
• 0.2 * 0.75 * 0.35 * 0.5 = 0.013125
• 0.2 * 0.25 * 0.65 * 0.5 = 0.01625
• 0.2 * 0.25 * 0.35 * 0.5 = 0.00875

Теперь сложим все части:

P(1) = 0.035 + 0.013125 + 0.01625 + 0.00875 = 0.073125

Теперь можем найти P(не менее двух):

P(не менее двух) = 1 - (0.00875 + 0.073125) = 1 - 0.081875 = 0.918125

Таким образом, вероятность сдачи не менее двух экзаменов составляет 0.918125 или 91.8125%.