Тема: Дробно-рациональные уравнения

Цель урока: изучение темы «Дробно-рациональные уравнения» в рамках курса алгебры 10 класса.

Задачи урока:— дать определение дробно-рационального уравнения;— рассмотреть методы решения дробно-рациональных уравнений;— отработать навыки решения дробно-рациональных уравнений.

Ход урока

1. Введение в тему.

Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное находится в знаменателе дроби. Для решения таких уравнений необходимо использовать специальные методы, которые мы рассмотрим на уроке.

2. Определение дробно-рационального уравнения.

Пусть дано уравнение:

$(x-3)(x+2) = 0$

Это уравнение является линейным, так как в левой части находится выражение, которое можно представить в виде произведения линейных множителей.

Рассмотрим другое уравнение:

$\frac{x-1}{x+3} = 0$

В этом уравнении неизвестное находится в знаменателе, что делает его дробно-рациональным.

3. Методы решения дробно-рациональных уравнений.

Для решения дробно-рациональных уравнений используют следующие методы:

— метод исключения;— метод замены переменной;— графический метод.

Метод исключения заключается в том, что мы приравниваем к нулю каждый из множителей, находящихся в числителе и знаменателе. Затем решаем полученные уравнения и находим корни.

Пример:

Решите уравнение $\frac{3x-10}{5x+6} = 2$

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю:

$3x - 10 = 2(5x + 6)$

Раскроем скобки и перенесём слагаемые:

$3x - 5x = 2 \cdot 6 + 10$

Сократим подобные слагаемые и найдём корень:

$-2x = 12$

$x = -6$

Ответ: -6

Метод замены переменной заключается в том, что мы заменяем переменную в уравнении на другую переменную, которая позволяет упростить уравнение.

Пример:

Решите уравнение $(x-5)(x+7) = (x-2)(x+10)$

Решение:

Заменим переменную $x$ на переменную $y$:

$(y-5)(y+7) = (y-2)(y+10)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$y^2 - 2y - 35 = y^2 + 8y + 20$

Переносим слагаемые и приводим уравнение к виду:

$-10y = 55$

Находим корень уравнения:

$y = -5,5$

Возвращаемся к исходной переменной:

$x - 5 = -5,5$

$x = 0,5$

Графический метод заключается в построении графиков функций, входящих в уравнение. Корни уравнения находятся в точках пересечения графиков.

4. Отработка навыков решения дробно-рациональных уравнений.

После изучения методов решения дробно-рациональных уравнений, необходимо отработать навыки их применения на практике. Для этого можно использовать следующие упражнения:

1) Решите уравнение: $\frac{2x-3}{x+4} = \frac{5x-7}{x+1}$

2) Решите уравнение: $(x-1)(x+5) = (x+3)(x-2)$

3) Решите уравнение: $\frac{(x-4)(x+8)}{x-6} = x + 4$

5. Заключение.

Изучение темы «Дробно-рациональные уравнения» позволяет расширить знания о методах решения уравнений и развить навыки их применения. Кроме того, решение дробно-рациональных уравнений может быть полезно при решении задач из других областей математики.

Вопросы для закрепления:

• Что такое дробно-рациональное уравнение?
• Какие методы решения дробно-рациональных уравнений вы знаете?
• В чём заключается метод исключения?
• В чём заключается метод замены переменной?
• В чём заключается графический метод?

Примеры дробно-рациональных уравнений:

• $\frac{x+2}{x-3} = 1$
• $(x-4)(x+3) = \frac{(x+2)(x-1)}{2}$
• $3(x-1) + \frac{7x}{x+2} = 4$
• $\sqrt{x} + \frac{6x}{x^2-1} = 3$

Попробуйте решить эти уравнения самостоятельно и сравнить свои результаты с ответами.

Решение примеров:

Первый пример:

$\frac{x+2}{x-3} = 1$

Приводим уравнение к общему знаменателю и раскрываем скобки:

$x + 2 = x - 3$

Переносим неизвестные слагаемые в левую часть, а известные в правую и приводим подобные:

$2 = -3$

Получаем неверное равенство, следовательно, уравнение не имеет корней.

Второй пример:

$(x-4)(x+3) = \frac{(x+2)(x-1)}{2}$

Выполняем умножение в левой и правой частях уравнения:

$x^2 - x - 12 = \frac{x^2+x-2}{2}$

Приводим правую часть уравнения к общему знаменателю:

$x^2 - x - 12 = \frac{2x^2 + x - 4}{2}$

Умножаем обе части уравнения на 2 и приводим подобные слагаемые:

$4x^2 -5x - 24 = 0$

Решаем квадратное уравнение и находим корни:

$D = 25 + 96 = 121$

$x_1 = \frac{-(-5) + 11}{2\cdot4} = 1,5$

$x_2 = \frac{-5 + 11}{8} = \frac{3}{2}$

Третий пример:

$3(x-1) + \frac{7x}{x+2} = 4$

Выполняем приведение подобных слагаемых и деление:

$5x-3 = 4x + 8$

Переносим известные слагаемые в правую часть, а неизвестные в левую:

$x = 11$

Четвёртый пример:

$\sqrt{x} + \frac{6x}{x^2-1} = 3$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$x + \frac{36x^2}{x^2-1} = 9$

Упрощаем уравнение и приводим дроби к общему знаменателю:

$1 + \frac{36}{x-1} = \frac{9}{x-1}$

Домножаем обе части на $(x-1)$:

$9 = 36$

Получили неверное равенство. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения являются важным элементом курса алгебры. Они требуют особого подхода к решению и позволяют развивать навыки работы с дробями.