Тема: Системы линейных уравнений. Алгебра, 10 класс

Введение

Системы линейных уравнений — это один из самых важных разделов алгебры. Они широко используются в различных областях математики, физики, химии и других наук.

В этом разделе мы рассмотрим основные понятия и методы решения систем линейных уравнений. Мы также научимся применять эти методы для решения практических задач.

Определение системы линейных уравнений

Система линейных уравнений — это совокупность уравнений, в каждом из которых неизвестная величина является линейной функцией от других неизвестных.

Математически система линейных уравнений записывается следующим образом:

$a{1}x{1}+a{2}x{2}+...+a{n}x{n}=b{1}$$b{2}x{1}+b{3}x{2}+...+b{n}x{n}=c{2}$...$n{1}x{1}+n{2}x{2}+...+n{n}x{n}=d_{n}$

где $x{1}$, $x{2}$, ..., $x{n}$ — неизвестные величины, а $a{1}$, $a{2}$, ..., $a{n}$, $b{1}$, $b{2}$, ..., $b{n}$, ..., $n{1}$, $n{2}$, ..., $n{n}$, $d{1}$, $d{2}$, ..., $d_{n}$ — коэффициенты, которые могут быть любыми действительными числами.

Решением системы линейных уравнений называется набор значений неизвестных величин, при подстановке которых в систему каждое уравнение обращается в верное равенство.

Методы решения систем линейных уравнений

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки:

Метод подстановки заключается в том, что из одного уравнения системы выражаем одну неизвестную величину через другие неизвестные величины и подставляем полученное выражение в остальные уравнения.

Пример:$x+y=5$$2x-y=3$

Решение:Из первого уравнения выразим $y$:$y=5-x$Подставим полученное выражение во второе уравнение:$2x-(5-x)=3$$3x=8$$x=\frac{8}{3}$Теперь подставим значение $x$ в выражение для $y$:$y=5-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}$Ответ: $(\frac{8}{3},\frac{1}{3})$

2. Метод сложения:

Метод сложения заключается в том, что мы складываем уравнения системы так, чтобы исключить одну неизвестную величину.

Пример:$x-2y=4$$5x+2y=-6$

Решение:Умножим первое уравнение на 2:$2x-4y=8$Теперь сложим уравнения:$(2x+5x)-4y=-6+8$$7x=2$$x=-\frac{2}{7}$Подставим значение $x$ во второе уравнение:$-\frac{2}{7}+2y=-6$$y=-\frac{4}{7}$Ответ: $(-\frac{2}{7},-\frac{4}{7})$

3. Метод матриц:

Этот метод заключается в использовании матриц для записи системы линейных уравнений и применения матричных операций для её решения.

Пример:$\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \ 5 \end{pmatrix}$

Решение:Матрица коэффициентов системы:$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$Матрица свободных членов:$B=\begin{pmatrix} -1 \ 5 \end{pmatrix}$Матричное уравнение:$AX=B$Определитель матрицы $A$:$|A|=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$Так как определитель матрицы $A$ не равен нулю, то система имеет единственное решение.Найдём обратную матрицу $A^{-1}$:$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix}$Теперь умножим обратную матрицу на матрицу свободных членов:$X=A^{-1}B=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} -3 & -2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \ 5 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-3\cdot(-1)+(-2)\cdot5 \ 1\cdot(-1)+4\cdot5 \end{pmatrix}==\begin{pmatrix}7 \ -19 \end{pmatrix}$Ответ: $(7,-19)$

Практические задачи

Рассмотрим несколько примеров практических задач, которые можно решить с помощью систем линейных уравнений:

Задача 1:В двух магазинах продаются конфеты. В первом магазине можно купить 1 кг конфет за 100 рублей, а во втором — 1 кг за 80 рублей. За день было продано 15 кг конфет, и выручка составила 1200 рублей. Сколько килограммов конфет было продано в каждом магазине?

Решение:Пусть $x$ кг конфет было продано в первом магазине, а $y$ кг — во втором. Тогда:$100x+80y=1200$$x+y=15$Решим эту систему методом сложения:$180(x+y)=1200+120y$$x+y=15$$120x=1080$$x=9$$y=6$Ответ: В первом магазине было продано 9 кг конфет, а во втором — 6 кг.

Задача 2:Два фермера собрали урожай яблок и груш. Первый фермер собрал 10 тонн яблок и 5 тонн груш, а второй фермер — 5 тонн яблок и 10 тонн груш. Один из фермеров продал весь свой урожай по цене 10 000 рублей за тонну, а другой — по цене 5 000 рублей за тонну. Какая сумма была получена от продажи урожая каждым фермером?

Решение:Пусть первый фермер продал урожай на сумму $x$ рублей, а второй — на сумму $y$ рублей. Тогда:$10x+5y=10000$$5x+10y=5000$Решим эту систему матричным методом:Матрица коэффициентов:$A=\begin{pmatrix}10 & 5 \ 5 & 10 \end{pmatrix}$Определитель матрицы:$|A|=50$Обратная матрица:$A^{-1}=\frac{1}{50}\begin{pmatrix}10 & -5 \ -5 & 10 \end{pmatrix}$Умножим обратную матрицу на столбец свободных членов:$X=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}10000 \ 5000 \end{pmatrix}=\frac{1}{50}\cdot\begin{pmatrix}10 & -5 \ -5 & 10 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}10000 \ 5000 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2000 & -1000 \ -1000 & 2000\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}10000 \ 5000 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40000 \ 7500 \end{pmatrix}$Первый фермер получил 40 000 рублей от продажи урожая, а второй — 7 500 рублей.Ответ: 40 000 и 7 500 рублей соответственно.

Эти примеры показывают, что системы линейных уравнений могут быть использованы для решения различных практических задач. Они являются мощным инструментом для анализа и моделирования реальных ситуаций.

Обратите внимание, что это лишь пример учебного материала, который можно адаптировать под потребности конкретного урока или аудитории.