График нечётной функции

Определение: Функция, которая удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого значения аргумента $x$, называется нечётной.

График такой функции симметричен относительно начала координат. Это означает, что если провести прямую через начало координат и любую точку графика, то на этой прямой будет лежать ещё одна точка графика.

Для построения графика нечётной функции достаточно построить его только в первой четверти, а затем отразить относительно оси ординат (OY).

Рассмотрим несколько примеров функций, которые являются нечётными:

• $y = x^3$;
• $y = \sin x$.

Чтобы определить, является ли функция нечётной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подставить в функцию вместо $x$ значение $-x$.
2. Если полученное выражение совпадает с исходным, но со знаком «минус», то функция является нечётной. В противном случае — функция не является нечётной.
3. Проверить функцию на чётность, подставив в неё вместо $x$ значение $x$. Если полученное выражение совпадает с исходным, то функция является чётной. В противном случае функция является ни чётной, ни нечётной (общего вида).

Примеры решения задач:

Задача 1. Определить, является ли функция $y=\frac{x}{x+1}$ нечётной?

Решение:

1. Заменим $x$ на $-x$ в функции: $y=-\frac{-x}{-x+1}$.
2. Получим: $-\frac{-x}{-x+1}=\frac{x}{x+1}$, что совпадает с исходной функцией.
3. Значит, функция является нечётной.Ответ: функция является нечётной.

Задача 2. Построить график функции $y=x^3$.

Решение: Для построения графика данной функции достаточно построить её в первой координатной четверти, так как функция является нечётной и её график симметричен относительно начала координат:

1. Составим таблицу значений:	$x$	0	1	2
   $y$	0	1	8

2. Отметим полученные точки на плоскости и соединим их плавной линией.
3. Так как функция нечётная, отразим полученный график относительно оси OY.
4. График функции $y=x^3$ построен.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое нечётная функция?
2. Как построить график нечётной функции?
3. Как определить, является ли функция нечётной?
4. Приведите примеры нечётных функций.
5. Решите задачу: определить, является ли функция $y = 3x + 5$ нечётной?