Исследование функций с помощью производной Исследование функции — это процесс изучения свойств функции, который позволяет определить её поведение и характеристики. Одним из основных инструментов исследования функций является производная. Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Основные этапы исследования функции с помощью производной: 1. Нахождение области определения функции. Область определения функции — это множество значений аргумента, для которых функция определена. Для нахождения области определения необходимо проанализировать выражение, задающее функцию, и исключить те значения аргумента, при которых функция не определена или не имеет смысла. 2. Проверка на чётность или нечётность. Функция называется чётной, если для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция называется нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$. Если ни одно из этих условий не выполняется, то функция называется функцией общего вида. 3. Определение точек пересечения графика функции с осями координат. Для этого необходимо решить уравнения $f(x) = 0$ и $y = 0$. 4. Исследование функции на монотонность и экстремумы. Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Точка $x{0}$ называется точкой максимума функции $f$, если существует такая окрестность точки $x{0}$, что для всех $x ≠ x{0}$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) ≤ f(x{0})$. Точка $x{1}$ называется точкой минимума функции $f$, если существует такая окрестность точки $x{1}$, что для всех $x ≠ x{1}$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) ≥ f(x{1})$. Точки максимума и минимума называются точками экстремума. 5. Построение графика функции. На основе полученных данных можно построить график функции. График функции представляет собой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $y = f(x)$, где $x$ — независимая переменная, а $y$ — зависимая переменная. 6. Дополнительные исследования. В зависимости от конкретной функции могут потребоваться дополнительные исследования, такие как нахождение асимптот, исследование периодичности и т. д. Рассмотрим пример исследования функции: Пусть дана функция $f(x)=x^3-3x^2+2$. Необходимо исследовать эту функцию с помощью производной. 1. Область определения: все действительные числа. 2. Чётность/нечётность: функция является функцией общего вида, так как $f(-x)≠f(x), f(-x)≠-f(x)$. 3. Точки пересечения с осями: с осью $Ox$: $f(x)=0$, откуда $x=\pm \sqrt{2}$. с осью $Oy$: $(0;0)$. 4. Исследование на монотонность и экстремумы: найдём производную функции: $f'(x)=3x^2-4x$. приравняем производную к нулю: $3x^2-4x=0$, откуда $x_1=0, x_2=4/3$. определим знаки производной на промежутках: на промежутке $(-∞;0)$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает. на промежутке $(0;4/3)$ производная положительна, следовательно, функция возрастает. на промежутке $(4/3;+∞)$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает. точка $x_2=4/3$ является точкой максимума, так как в этой точке производная меняет знак с плюса на минус. Значение функции в этой точке равно $f(4/3)=\frac{64}{27}$. точка $x_1=0$ является точкой минимума, так как в ней производная меняет знак с минуса на плюс. Значение функции в этой точке равно нулю. 5. Построим график функции: ось $Oy$ будет являться вертикальной асимптотой графика, так как при стремлении $x$ к $±∞$ значение функции стремится к $+∞$. ось $Ox$ также будет являться асимптотой, но горизонтальной, поскольку при стремлении $y$ к $±∞$ аргумент функции стремится к $±∞$. График функции представлен на рисунке ниже. Таким образом, мы исследовали функцию $f(x)=x^3-3x^2+2$ с помощью производной и построили её график