Множество значений функции
Определение. Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называется множеством значений функции.
Множество значений обозначается E(f) или f(D).
Для нахождения множества значений функции необходимо:
Рассмотрим несколько примеров нахождения множества значений функций.
Область определения данной функции — все действительные числа.
Найдём нули функции: x² + 2x – 3 = 0. Получаем квадратное уравнение, корни которого равны -3 и 1.
График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Следовательно, наибольшее значение функция будет принимать в вершине параболы.
Вершина параболы имеет координаты (-1; -4). Значит, наибольшее значение функции равно -4.
Наименьшее значение функции будет достигаться при x = -3 или x = 1 и равно -4.
Таким образом, множество значений данной функции E(y) = [-4; +∞).
Областью определения данной функции является множество неотрицательных чисел.
Если x ≥ 0, то y ≥ 0. Значит, областью значений функции будет промежуток [0; +∞).
Известно, что область значений синуса — это отрезок [-1; 1].
Значит, E(sin x) = [-1; 1]
Сначала найдём область определения данной функции. Так как косинус может принимать значения от -1 до 1, то выражение в скобках должно быть меньше или равно 1. Решим неравенство:x² + 5 ≤ 1x² ≤ -4Данное неравенство не имеет решений, следовательно, область определения исходной функции пуста. Это значит, что данная функция не определена ни при каких значениях переменной.
Ответ: E(y) = ∅.
Так как область значений тангенса — это все действительные числа, то E(tg x) = R.
Логарифм определён только для положительных чисел, поэтому D(log₂ x) = (0; +∞). Область значений логарифма — все действительные числа. Поэтому E(log₂ x) = (-∞; +∞)
Данная функция определена на всём множестве действительных чисел. Её график представляет собой прямую, проходящую через точки (0; 0) и (1; 1), а также симметричную ей относительно оси ординат.
Следовательно, E(|x|) = [0; +∞).
Арксинус определён на отрезке [-1; 1], поэтому область определения исходной функции D(arcsin x) = [-1; 1]. Область значений арксинуса — отрезок [–π/2; π/2]. Значит, E(arcsin x) = [–π/2; π/2]
Арктангенс определён на всей числовой прямой, поэтому область определения исходной функции D(arctg x) = R. Область значений арктангенса — интервал (-π/2; π/2). Значит, E(arctg x) = (-π/2; π/2)
Вопросы для самоконтроля:
Задачи для самостоятельного решения: