Свойства степени
Степень числа — это результат многократного умножения числа на себя. Число, которое умножается на себя, называется основанием степени, а количество умножений — показателем степени.
Свойства степени применяются для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений, нахождения значений выражений и решения уравнений и неравенств.
В алгебре и геометрии свойства степени применяются в различных задачах и уравнениях, таких как решение квадратных и кубических уравнений, нахождение значений тригонометрических функций, исследование графиков функций и т. д.
Основные свойства степени
Умножение степеней с одинаковыми основаниями: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.Пример:$2^3 * 2^5 = 2^(3+5) = 2^8$
Деление степеней с одинаковыми основаниями: при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.Пример:$(2^4) / (2^3) = 2^{(4-3)} = 2^1 = 2$
Возведение степени в степень: при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.Пример:$(3^2)^3 = 3^(2 * 3) = 3^6$
Умножение числа на степень: чтобы умножить число на степень, нужно умножить это число на основание степени, а показатель степени оставить неизменным.Пример:$3 5^2 = (3 5) 5 = 15 5 = 75$
Степень произведения: при возведении произведения двух или более чисел в степень, каждый множитель возводится в эту степень отдельно.Пример:$(xy)^2 = x^2 * y^2$
Степень частного: при возведении частного двух чисел в степень каждое из них возводится в эту степень, а затем делится.Пример:$(x / y)^3 = (x^3 / y^3)$
Степень числа с отрицательным показателем: при возведении числа в отрицательную степень нужно записать дробь, в числителе которой будет единица, а в знаменателе — число в положительной степени с таким же показателем.Пример:$4^(-2) = (1 / 4^2) = 1 / 16$
Степень с нулевым показателем: любое число в нулевой степени равно единице.Пример:$5^0 = 1$
Степень положительного числа: если в показателе степени стоит чётное число, то результат будет положительным, если нечётное — отрицательным.Пример:$(-4)^2 = 16$, $(-4)^3 = -64$
Степень отрицательного числа: для отрицательного числа в чётной степени результат будет положительным, в нечётной — отрицательным.Пример:$(-5)^4 = 625$, $(-5)^5 = -3125$
Эти свойства степени позволяют выполнять различные алгебраические и геометрические операции, упрощать выражения и решать задачи. Они являются основой для изучения более сложных тем в алгебре и геометрии.
При изучении свойств степени важно понимать, что они применяются только к степеням с действительными числами. Степени с комплексными числами имеют свои особенности и требуют отдельного изучения.
Также следует помнить, что свойства степени могут применяться только в том случае, если основания степеней равны. Если основания разные, то свойства не работают.
Для закрепления знаний о свойствах степени рекомендуется решать задачи и примеры, а также выполнять упражнения.
Вопросы для самоконтроля:
Дополнительные материалы:
Применение свойств степени позволяет упростить алгебраические выражения и решить задачи, связанные с исследованием функций, решением уравнений и неравенств, построением графиков функций. Также свойства степени используются в геометрии при изучении фигур и их свойств.