Свойства степени с целым показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a.

В алгебре степень обозначается следующим образом: an, где a — основание степени, а n — показатель степени.

Для любого числа a и целого неотрицательного показателя степени n выполняется:

• an = a a ... * a (n раз), где n — натуральное число;
• a0 = 1.

Если n — отрицательное целое число, то an — это число, обратное числу an при положительном целом n.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним. Это свойство называют свойством произведения степеней.

Например, 23 * 25 = 28. Здесь 2 — основание, а 3 и 5 — показатели степени. При умножении показателей степеней складываем их и получаем 8.

Также можно возвести степень в степень. В этом случае показатели перемножаются, а основание не меняется. Это свойство возведения степени в степень.

Пример: (23)2 = 26. Здесь мы возводим в квадрат число 2 в третьей степени и получаем число 4 в шестой степени.

Ещё одно свойство — деление степеней с одинаковым основанием. Свойство частного степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя, а основание оставляют прежним.

Пример: 125 : 15 = 53. Здесь в числителе и знаменателе одинаковые основания, равные 5. Из показателя степени числителя вычитаем показатель степени знаменателя и получаем ответ.

Следующее свойство — возведение степени в дробь. При возведении степени в дробный показатель нужно возвести в числитель число в степень, указанную в числителе дроби, а в знаменатель — в степень, указанную в знаменателе. Основание не меняется.

Пример: (32)1/3 = 91/3. Возводим число 9 во вторую степень и получаем результат.

Есть ещё одно свойство, которое позволяет записать выражение в виде степени. Если в произведении есть степени с одинаковыми основаниями, то их можно записать в виде степени. При этом показатели степеней складываются, а основания остаются прежними.

Пример: x2 x3 x5 = x10. Здесь мы складываем показатели степеней и получаем в ответе число в десятой степени.

Эти свойства степеней используются для упрощения выражений и решения задач. Они помогают сократить вычисления и сделать их более эффективными.

Применение свойств степени в окружающем мире

Свойства степени могут быть использованы для описания различных процессов и явлений в природе и обществе. Например, они могут помочь понять, как быстро растёт население Земли или как изменяется уровень загрязнения окружающей среды.

Рассмотрим несколько примеров того, как свойства степени применяются в изучении окружающего мира:

1. Рост населения. Население Земли растёт экспоненциально, то есть его рост описывается степенной функцией. Это означает, что каждые несколько лет население увеличивается в определённое количество раз. Используя свойства степени, можно вычислить, насколько увеличится население через определённый период времени.

2. Загрязнение окружающей среды. Уровень загрязнения воздуха, воды и почвы также может описываться степенной функцией. С помощью свойств степени можно определить, как изменится уровень загрязнения при увеличении выбросов вредных веществ.

3. Распространение информации. Скорость распространения информации также может быть описана степенной функцией. Свойства степени позволяют определить, сколько людей получат информацию за определённый промежуток времени.

Таким образом, свойства степени имеют широкое применение в различных областях науки и техники. Они могут использоваться для анализа и прогнозирования различных процессов и явлений.

Важно отметить, что свойства степени применимы только к целым показателям степени. Если показатель степени является дробным числом или отрицательным числом, то необходимо использовать другие методы вычислений.

Вопросы для закрепления материала:

1. Что такое степень числа?
2. Как записывается степень с целым показателем?
3. Какие свойства степени вы знаете?
4. Как применяется свойство произведения степеней?
5. Как используется свойство возведения степени в степень?
6. Для чего нужно свойство частного степеней?
7. Как записать выражение в виде степени?
8. Где применяются свойства степени?

Ответы на эти вопросы помогут закрепить материал и лучше понять тему.

Примеры задач:

1. Вычислите: 24 * 27.
2. Решите уравнение: x3 = 64.
3. Найдите значение выражения: (52)3 : 55.

Решение:

1. 24 * 27 = 211 = 2048. Ответ: 2048.
2. x3 = 64, x = 4. Ответ: 4.
3. (52)3 : 55 = (25)3 : 255 = 125 * 5 = 625. Ответ: 625.