Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты, а x – неизвестное.

Решение квадратного уравнения – нахождение всех его корней или доказательство того, что их нет.

Для решения квадратных уравнений можно использовать различные методы:

1. Выделение полного квадрата.
2. Разложение левой части на множители.
3. Метод выделения полного квадрата.
4. Использование формул корней квадратного уравнения.
5. Графический метод.
6. Теорема Виета.

Рассмотрим каждый из методов подробнее:

1. Выделение полного квадрата.

Этот метод основан на использовании формул сокращённого умножения для разложения левой части уравнения на множители. Рассмотрим пример:

Пример 1: Решить уравнение x² + 6x + 9 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат:

(x + 3)² = x² + 2 x 3 + 3²,

тогда уравнение примет вид:

(x + 3)² - 3² = 0,

или

(x + 3 - 3)(x + 3 + 3) = 0.

Получаем два уравнения:

x + 0 = 0x = -3.

x + 6 = 0x = -6.

Ответ: -3 и -6.

2. Разложение левой части на множители.

Метод основан на использовании формул сокращенного умножения для разложения на множители левой части уравнения. Рассмотрим пример.

Пример 2: Решить уравнение (x – 1)(x – 2) = 5.

Решение:

Раскроем скобки:

x² – 3x + 2 = 5.

Перенесём всё в левую часть:

x² –3x - 3 = 0.

Вынесем общий множитель за скобки:

(x – 3)(x +1) = 0.

Из этого следует, что либо x – 3 = 0 и x = 3, либо x + 1 = 0 и x = -1.

Ответ: 3 и -1.

3. Метод выделения полного квадрата.

Данный метод основан на выделении полного квадрата из левой части уравнения и использовании формул для нахождения корней квадратного уравнения с учётом коэффициента a. Рассмотрим пример.

Пример 3: Решить уравнение: x² - 4x + 5 = 0.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду:

x² - 2 * 2x + 4 + 1 = 0.

Дополним выражение до полного квадрата:

(x² - 2* 2x + (2²) = (x – 2)² + 1.

Таким образом, получаем:

(x – 2)² = -1,

следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4. Использование формул корней квадратного уравнения.

В этом методе используются формулы для нахождения корней квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

где a, b, c - коэффициенты уравнения, а D = b² - 4ac - дискриминант.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D < 0, то корней нет.

Рассмотрим пример.

Пример 4: Решить уравнение: $x^2+7x-8=0$.

Решение:

Найдём дискриминант:

D = 7² - 4 1 (-8) = 49 + 32 = 81 > 0.

Значит, уравнение имеет два корня:

$x_1=\frac{-7+\sqrt{81}}{2}=\frac{7+9}{2}=8$

$x_2=\frac{-7-\sqrt{81}}{2}=\frac{7-9}{2}=-1$

Ответ: 8 и -1.

5. Графический метод.

Графический метод основан на построении графика функции, соответствующей квадратному уравнению. Если график пересекает ось абсцисс в двух точках, то уравнение имеет два решения. Если график касается оси абсцисс, то уравнение имеет одно решение. Если график не пересекает ось абсцисс, то решений нет. Рассмотрим пример.

Пример 5: Решить графически уравнение $x^2-3x+2=0$.

Решение:Построим график функции $y=x^2−3x+2$. Для этого найдём координаты вершины параболы:

$$x_0=\frac{3}{2}$$

$$y_0=4\frac{1}{4}$$

Теперь построим график:

Мы видим, что график пересекает ось абсцисс в точках -1 и 2. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: -1 и 2.

6. Теорема Виета.

Теорема Виета утверждает, что для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Эта теорема позволяет быстро находить корни квадратного уравнения без использования формул. Рассмотрим пример.

Пример 6: Решить уравнение $x^2-5x+4=0$

Решение:

Сумма корней уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком:

$-5$

Произведение корней уравнения равно свободному члену:

4

Следовательно, корни уравнения равны 4 и 1.

Ответ: 4 и 1.

Применение квадратных уравнений в окружающей действительности.

Квадратные уравнения находят широкое применение в различных областях науки и техники. Они используются для решения задач, связанных с движением тел под действием силы тяжести, для расчёта траекторий космических ракет, для определения площади фигур, для расчётов в строительстве и архитектуре и т.д.

Например, квадратное уравнение можно использовать для расчёта траектории полёта мяча, брошенного под углом к горизонту. В этом случае уравнение будет иметь вид:

$h= \frac{v_0^2sin^2\alpha}{2g}$

где $h$ - высота полёта мяча, $v_0$ - начальная скорость, $α$ - угол бросания, $g$ - ускорение свободного падения.

Также квадратные уравнения можно использовать для определения площади фигуры, ограниченной параболой и прямой. В этом случае уравнение параболы будет иметь вид:

$y=ax^2$

а уравнение прямой будет иметь вид:

$y=kx+b$

где a и k - коэффициенты, b - свободный член.

Площадь фигуры можно найти по формуле:

S = $\frac{(b-ak)}{2a}$

Таким образом, квадратные уравнения являются важным инструментом для решения различных задач в науке и технике.