Тема: Десятичные дроби

Введение

Десятичные дроби — это числа, состоящие из целой и дробной части. Целая часть отделяется от дробной с помощью точки или запятой. В десятичных дробях используется основание 10, что делает их особенно удобными для вычислений.

В этой теме мы рассмотрим основные понятия и свойства десятичных дробей, научимся выполнять с ними различные операции, а также применять их для решения задач.

Цель: Познакомить учащихся с понятием десятичной дроби, научить выполнять с ней различные операции и применять для решения задач.

Задачи:

• Сформировать представление о десятичных дробях и их свойствах.
• Научить записывать десятичные дроби, читать их и переводить в другие формы записи.
• Познакомить с операциями над десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение и деление.
• Научить применять десятичные дроби для решения задач на проценты, пропорции, сравнение величин и т. д.

Основные понятия

1. Десятичная дробь — это число, которое записывается в виде целой части и дробной части, разделенных точкой или запятой.

2. Целая часть — это часть числа, которая стоит перед точкой или запятой. Она может быть равна нулю.

3. Дробная часть — это часть числа после точки или запятой. Дробная часть может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

4. Разряд — это место, занимаемое цифрой в записи числа. Разряды располагаются справа налево в порядке убывания.

5. Значащая цифра — это цифра, которая стоит в числе после запятой. Значащие цифры могут быть нулями, если они стоят после запятой и не являются незначащими нулями.

6. Незначащий нуль — это нуль, который стоит в числе до первой значащей цифры или после последней значащей цифры.

7. Конечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр.

8. Бесконечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит бесконечное число цифр. Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими.

9. Периодическая десятичная дробь — это бесконечная десятичная дробь, у которой повторяющаяся группа цифр образует период.

10. Период — это повторяющаяся группа цифр в периодической десятичной дроби. Период может быть записан в скобках.

Пример: 0,333... = 0,(3).

Перевод десятичных дробей в обыкновенные и обратно

Для перевода десятичной дроби в обыкновенную нужно записать ее в виде суммы или разности нескольких слагаемых, каждое из которых имеет вид $n * 10^m$, где $n$ — целое число, а $m$ — показатель степени. Затем нужно привести подобные слагаемые и записать дробь в виде $p/q$, где $p$ — числитель, а $q$ — знаменатель.

Например, чтобы перевести десятичную дробь 0,5 в обыкновенную, нужно записать ее как 0,5 = 5/10 = 1/2.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель на знаменатель. Если знаменатель не делится на 10 или 100, то можно домножить числитель и знаменатель на нужное число, чтобы получить знаменатель, кратный 10 или 100.

Например, чтобы перевести обыкновенную дробь 1/3 в десятичную, нужно разделить 1 на 3, получится 0,3.

Сравнение десятичных дробей

Сравнение десятичных дробей можно выполнять по разрядам. Для этого нужно сравнивать разряды, начиная с самого старшего разряда. Если первые разряды равны, то нужно сравнивать следующие разряды. Если все разряды равны, то десятичные дроби равны.

Если одна из десятичных дробей имеет бесконечное количество цифр после запятой, то она больше другой десятичной дроби с конечным количеством цифр после запятой.

Примеры:

0,2 < 0,3

0,75 > 0,74

0,(6) = 0,666... > 0,6

Сложение и вычитание десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняется так же, как и сложение и вычитание натуральных чисел. Нужно сложить (вычесть) целые части, а затем дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то нужно «занять» одну или несколько цифр из целой части уменьшаемого.

При сложении и вычитании десятичных дробей нужно учитывать их разрядность. Если разряды дробных частей не совпадают, то нужно привести их к одному разряду.

Примеры:

1,25 + 3,1 = 4,35

6,2 – 3,7 = 2,5

Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей выполняется аналогично умножению натуральных чисел. Необходимо умножить числа, не обращая внимания на запятые. Затем отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе.

Пример:

2,1 * 3,4 = 7,14

Деление десятичных дробей

Деление десятичных дробей также выполняется аналогично делению натуральных чисел. Сначала нужно перенести запятую в делимом и делителе вправо на одинаковое количество цифр. Затем выполнить деление, как деление натуральных чисел.

Пример:

3,6 : 0,9 = 4

Решение задач с применением десятичных дробей

Десятичные дроби широко используются в различных задачах. Они позволяют упростить вычисления и сделать их более точными.

Задачи на проценты:

Задача: В магазине скидка на товар составляет 15%. Сколько будет стоить товар со скидкой, если его первоначальная цена была 100 рублей?

Решение: 100 * 0,15 = 15.

Ответ: товар будет стоить 85 рублей.

Задачи на пропорции:

Задача: За 3 часа работы мастер выполнил 60% заказа. Сколько времени понадобится мастеру, чтобы выполнить весь заказ?

Решение: Пусть x — время, за которое мастер выполнит весь заказ. Тогда 1 — весь заказ, а 0,6 — 60%. Составим пропорцию:

x / 1 = 0,6 / 3

Решим уравнение: x = 0,6 * 1 / 3 = 0,2

Ответ: мастеру понадобится 0,2 часа, чтобы выполнить весь заказ.

Задачи на сравнение величин:

Задача: Сравнить массы двух тел: 1 кг 20 г и 1 кг 190 г.

Решение: Переведем массы в десятичные дроби:

1 кг 20 г = 1,02 кг

1 кг 190 г = 1,19 кг

Сравним десятичные дроби: 1,02 < 1,19

Ответ: второе тело тяжелее первого.

Таким образом, десятичные дроби являются важным инструментом для выполнения различных вычислений и решения задач. Они позволяют упрощать вычисления, делать их более точными и понятными.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое десятичная дробь?
• Как записать десятичную дробь?
• Чем отличается конечная десятичная дробь от бесконечной десятичной дроби?
• Какие операции можно выполнять с десятичными дробями?
• Где используются десятичные дроби?

Заключение

Мы рассмотрели основные понятия, свойства и операции с десятичными дробями. Теперь вы можете выполнять различные вычисления с десятичными дробями и решать задачи, используя этот инструмент.

Надеюсь, этот материал поможет вам лучше понять тему десятичных дробей и научиться применять их в своих расчетах.