Тема: Углы в параллелограмме

Цель урока: изучить свойства углов в параллелограмме и научиться применять их для решения задач.

Задачи урока:

• рассмотреть свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей;
• доказать теорему о свойствах углов в параллелограмме;
• научиться использовать эти свойства для нахождения неизвестных углов в задачах.

План урока:

1. Повторение основных понятий и свойств параллелограмма.
2. Изучение теоремы о свойствах углов параллелограмма.
3. Решение задач на применение теоремы.
4. Подведение итогов и домашнее задание.

Основные понятия и свойства параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма включают:

• противоположные стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам.Эти свойства позволяют нам изучать углы в параллелограмме.

Теорема о свойствах углов в параллелограмме

Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма, равна 180°.

Доказательство:Пусть ABCD — параллелограмм. Проведём диагональ AC. Она разделит параллелограмм на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по трём сторонам (AB = CD, BC = AD, AC — общая сторона). Следовательно, равны и соответствующие углы этих треугольников.Угол BAC равен углу ACD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Угол ABC равен углу CDA как соответственные углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.Таким образом, угол BAC + угол ABC = угол ACD + угол CDA = 180°, что и требовалось доказать.

Эта теорема позволяет нам находить неизвестные углы в параллелограммах. Например, если мы знаем один из углов параллелограмма, то можем найти второй угол, который ему смежен.

Пример: пусть в параллелограмме ABCD угол ABC равен 60°. Тогда угол ADC будет равен 120° (180° – 60°), так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Решение задач

Задача 1: в параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Известно, что угол BAC равен 35°. Найдите угол DCA.Решение: так как ABCD — параллелограмм, то угол BCA равен углу BAD. Сумма углов BAC и BCA равна 180°, следовательно, угол BCA = 145°. Угол DCA и BCA являются внутренними односторонними при параллельных прямых AB и CD и секущей АС, значит, угол DCA + угол BCA = 180°. Отсюда угол DCA = 180°–145°=35°. Ответ: угол DCA равен 35°.

Задача 2: в параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. Докажите, что треугольник АВМ равнобедренный.Решение: поскольку АМ — биссектриса, то ∠ВАМ = ∠MAD. Так как АВСD — параллелограмм, то АВ || CD и ВС || AD. Следовательно, ∠MBC = ∠BAD, а значит, ∠BAM = ∠MBC. Таким образом, треугольник АВМ — равнобедренный с основанием ВМ. Что и требовалось доказать.

Подведение итогов

Сегодня мы изучили свойства углов в параллелограмме, доказали теорему о сумме углов, прилежащих к стороне параллелограмма, и научились решать задачи с использованием этой теоремы. На следующем уроке мы продолжим изучение свойств параллелограмма и рассмотрим другие его особенности.

Домашнее задание:

1. В параллелограмме ABCD проведены высоты ВН и ВЕ. Докажите, что треугольники АВН и СВЕ равны.
2. Найдите углы параллелограмма ABCD, если известно, что один из них равен 50°.