Высоты, биссектрисы и медианы треугольника
В геометрии треугольник является одной из самых основных фигур. Он состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. В треугольнике есть три угла, сумма которых равна 180°.
Существует несколько важных линий и отрезков в треугольнике, которые помогают нам изучать его свойства и решать задачи. Рассмотрим некоторые из них: высоты, биссектрисы и медианы.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
Свойства высот:
Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.
Свойства биссектрис:
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан:
Задачи:
Дан треугольник ABC. Известно, что AB = 5 см, BC = 6 см и AC = 7 см. Найдите длины медиан этого треугольника.Решение:Для решения задачи можно воспользоваться формулой для нахождения длины медианы:$m{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}$Подставляя значения сторон треугольника, получаем:$m{AB}=\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 6^{2} - 7^{2}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{49}$ = 7$m{BC}=\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 5^{2} - 6^{2}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{63}$ = 9,5$m{AC}=\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^{2} + 2 \cdot 7^{2} - 5^{2}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{85}$ = 10,6Ответ: длины медиан треугольника ABC равны 7, 9,5 и 10,6 см.
В треугольнике ABC проведены медианы AM и BN. Известно, что AM = 3 см, а BN = 4 см. Вычислите длину третьей медианы CK.Решение:Поскольку медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершин, то длина медианы CK будет равна сумме длин отрезков MK и KN.Пусть MK = x см, тогда KN = 2x см. Тогда:3 + 4 = x + 2xx = 1Значит, MK = 1 см, KN = 2 см.CK = MK + KN = 1 + 2 = 3Ответ: длина третьей медианы равна 3 см.
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что BM = 8 см, а площадь треугольника ABC равна 24 см². Вычислите длины сторон треугольника ABC.Решение:Площадь треугольника можно найти по формуле:S = ½ ab sinCгде a и b — стороны треугольника, C — угол между ними.Поскольку BM — медиана треугольника ABC, то она делит сторону AC пополам. Обозначим половину AC как x. Тогда сторона BC будет равна 2x.Используя формулу площади треугольника, получаем уравнение:24 = ½ x 2x sinBsinB = √(24 / (x² 2))Теперь рассмотрим треугольник ABM. Поскольку BM — медиана, то AM = MC = x.По теореме косинусов:BM² = AB² + AM² - 2 AB AM cosA8² = AB² + x² - 2 AB x cosAcosA = (8² + x²) / (2 x AB)Теперь мы можем составить систему уравнений:sinB = √(24 / (x² 2)),cosA = (64 + x²) / (2 x * AB).Решая эту систему, можно получить значения сторон треугольника ABC:AB ≈ 5,7 см,BC ≈ 11,4 см,AC ≈ 8,6 см.Ответ: стороны треугольника ABC примерно равны 5,7 см, 11,4 см и 8,6 см.
Это лишь некоторые примеры задач, связанных с высотами, биссектрисами и медианами треугольника. Эти линии и отрезки являются важными инструментами для изучения свойств треугольников и решения геометрических задач.