Высоты, биссектрисы и медианы треугольника

В геометрии треугольник является одной из самых основных фигур. Он состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. В треугольнике есть три угла, сумма которых равна 180°.

Существует несколько важных линий и отрезков в треугольнике, которые помогают нам изучать его свойства и решать задачи. Рассмотрим некоторые из них: высоты, биссектрисы и медианы.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Свойства высот:

1. Если все три высоты треугольника равны, то треугольник равносторонний.
2. Отрезок, соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает равнобедренный треугольник.
3. Три высоты любого треугольника делят его на шесть треугольников. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного треугольника.
4. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
5. Если треугольник прямоугольный, то высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
6. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.
7. Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника; центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника; центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Свойства биссектрис:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности. Это точка равноудалена от всех сторон треугольника.
2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла.
4. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
5. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это центр вписанной окружности.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
3. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.
4. Медианы треугольника делят друг друга в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины.
5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
6. Центры описанной и вписанной окружностей симметричны относительно центра тяжести (точки пересечения медиан) треугольника.
7. Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный.
8. Длина медианы, проведенной к стороне a, вычисляется по формуле: $m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}$.

Задачи:

1. Дан треугольник ABC. Известно, что AB = 5 см, BC = 6 см и AC = 7 см. Найдите длины медиан этого треугольника.Решение:Для решения задачи можно воспользоваться формулой для нахождения длины медианы:$m{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}$Подставляя значения сторон треугольника, получаем:$m{AB}=\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 6^{2} - 7^{2}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{49}$ = 7$m{BC}=\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 5^{2} - 6^{2}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{63}$ = 9,5$m{AC}=\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^{2} + 2 \cdot 7^{2} - 5^{2}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{85}$ = 10,6Ответ: длины медиан треугольника ABC равны 7, 9,5 и 10,6 см.

2. В треугольнике ABC проведены медианы AM и BN. Известно, что AM = 3 см, а BN = 4 см. Вычислите длину третьей медианы CK.Решение:Поскольку медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершин, то длина медианы CK будет равна сумме длин отрезков MK и KN.Пусть MK = x см, тогда KN = 2x см. Тогда:3 + 4 = x + 2xx = 1Значит, MK = 1 см, KN = 2 см.CK = MK + KN = 1 + 2 = 3Ответ: длина третьей медианы равна 3 см.

3. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что BM = 8 см, а площадь треугольника ABC равна 24 см². Вычислите длины сторон треугольника ABC.Решение:Площадь треугольника можно найти по формуле:S = ½ ab sinCгде a и b — стороны треугольника, C — угол между ними.Поскольку BM — медиана треугольника ABC, то она делит сторону AC пополам. Обозначим половину AC как x. Тогда сторона BC будет равна 2x.Используя формулу площади треугольника, получаем уравнение:24 = ½ x 2x sinBsinB = √(24 / (x² 2))Теперь рассмотрим треугольник ABM. Поскольку BM — медиана, то AM = MC = x.По теореме косинусов:BM² = AB² + AM² - 2 AB AM cosA8² = AB² + x² - 2 AB x cosAcosA = (8² + x²) / (2 x AB)Теперь мы можем составить систему уравнений:sinB = √(24 / (x² 2)),cosA = (64 + x²) / (2 x * AB).Решая эту систему, можно получить значения сторон треугольника ABC:AB ≈ 5,7 см,BC ≈ 11,4 см,AC ≈ 8,6 см.Ответ: стороны треугольника ABC примерно равны 5,7 см, 11,4 см и 8,6 см.

Это лишь некоторые примеры задач, связанных с высотами, биссектрисами и медианами треугольника. Эти линии и отрезки являются важными инструментами для изучения свойств треугольников и решения геометрических задач.