Касающиеся окружности

Окружность — это геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром окружности.

В геометрии есть несколько типов окружностей:

• Вписанная окружность — окружность, которая касается всех сторон многоугольника.
• Описанная окружность — окружность, на которой лежат все вершины многоугольника, то есть она проходит через все его вершины.
• Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны многоугольника и продолжений двух других его сторон.

Рассмотрим некоторые свойства касающихся окружностей.

1. Свойство вписанного четырёхугольника: если в четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
2. Теорема о квадрате отрезка касательной: квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведённой из той же точки.
3. Свойства описанного четырёхугольника:
   • Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны.
   • Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведения его противоположных сторон равны.

Высота в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона является основанием.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Свойства равнобедренного треугольника:

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.
• Медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
• Высоты равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Задача. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Боковая сторона равна 10 см, а основание — 8 см. Найти высоту, проведённую к боковой стороне.Решение. Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, проведённая к боковой стороне BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AD является также биссектрисой и медианой. Тогда BD = DC = 4 см. По теореме Пифагора AD² = AB² – BD² = 100 – 16 = 84. Отсюда AD = √84 = 2√21 см.Ответ: 2√21 см.

Вписанные углы

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Теорема 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Следствие 1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180°, значит, угол, содержащий половину окружности, содержит 90°.

Теорема 2 (обратная). Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду окружности, то они равны между собой.

Следствие 2. Если вписанный угол опирается на диаметр, то он прямой.

Задача 1. Точки A, B, C, D расположены на окружности и делят её на четыре дуги: AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся как 4:7:4:5. Найдите углы четырёхугольника ABCD.Решение: градусная мера всей окружности равна 360°. Следовательно, градусная мера каждой из четырёх дуг составляет 360°/4=90°. Значит, ∠A=90°⋅4/4=90°, ∠B=90°⋅7/4, ∠C=90°⋅4/4=90°, ∠D=90°⋅5/4. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому ∠A+∠B+∠C+∠D=360°. Получим уравнение: 90°+90°⋅7/4+90°+90°⋅5/4=360°, откуда ∠B=(360°−180°)⋅4/7=180°. Поскольку ∠B — развёрнутый, точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC. Следовательно, четырёхугольник ABCD — трапеция. Ответ: ∠A=∠С=90°, ∠В=180°, ⑦D=5/7⋅180°=150°.

Задача 2. На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга AC вдвое длиннее дуги BC. Центральный угол BOC равен 50°. Чему равны вписанные углы ∠ACB, ∠ABC и ∠BCA?Решение: центральный угол в два раза больше соответствующего ему вписанного угла, поэтому ∠ACB=1/2⋅50°=25°, ∠ABC=1/2(360°–50°–25°)=160°, ∠BCA=180°–160°=20°. Ответ: 25°, 160°, 20°.

Таким образом, мы рассмотрели основные понятия и свойства касающихся окружностей, высоты в равнобедренном треугольнике и вписанных углов. Эти темы являются важными для понимания геометрии и могут быть использованы для решения различных задач.