Касающиеся окружности
Окружность — это геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром окружности.
В геометрии есть несколько типов окружностей:
Рассмотрим некоторые свойства касающихся окружностей.
Высота в равнобедренном треугольнике
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона является основанием.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.
Свойства равнобедренного треугольника:
Задача. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Боковая сторона равна 10 см, а основание — 8 см. Найти высоту, проведённую к боковой стороне.Решение. Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC, проведённая к боковой стороне BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AD является также биссектрисой и медианой. Тогда BD = DC = 4 см. По теореме Пифагора AD² = AB² – BD² = 100 – 16 = 84. Отсюда AD = √84 = 2√21 см.Ответ: 2√21 см.
Вписанные углы
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
Теорема 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.
Следствие 1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180°, значит, угол, содержащий половину окружности, содержит 90°.
Теорема 2 (обратная). Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду окружности, то они равны между собой.
Следствие 2. Если вписанный угол опирается на диаметр, то он прямой.
Задача 1. Точки A, B, C, D расположены на окружности и делят её на четыре дуги: AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся как 4:7:4:5. Найдите углы четырёхугольника ABCD.Решение: градусная мера всей окружности равна 360°. Следовательно, градусная мера каждой из четырёх дуг составляет 360°/4=90°. Значит, ∠A=90°⋅4/4=90°, ∠B=90°⋅7/4, ∠C=90°⋅4/4=90°, ∠D=90°⋅5/4. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому ∠A+∠B+∠C+∠D=360°. Получим уравнение: 90°+90°⋅7/4+90°+90°⋅5/4=360°, откуда ∠B=(360°−180°)⋅4/7=180°. Поскольку ∠B — развёрнутый, точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC. Следовательно, четырёхугольник ABCD — трапеция. Ответ: ∠A=∠С=90°, ∠В=180°, ⑦D=5/7⋅180°=150°.
Задача 2. На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга AC вдвое длиннее дуги BC. Центральный угол BOC равен 50°. Чему равны вписанные углы ∠ACB, ∠ABC и ∠BCA?Решение: центральный угол в два раза больше соответствующего ему вписанного угла, поэтому ∠ACB=1/2⋅50°=25°, ∠ABC=1/2(360°–50°–25°)=160°, ∠BCA=180°–160°=20°. Ответ: 25°, 160°, 20°.
Таким образом, мы рассмотрели основные понятия и свойства касающихся окружностей, высоты в равнобедренном треугольнике и вписанных углов. Эти темы являются важными для понимания геометрии и могут быть использованы для решения различных задач.