Правильные многоугольники

Многоугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из нескольких точек (вершин), соединённых отрезками (сторонами). Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.

Правильные многоугольники являются важными фигурами в геометрии, так как они обладают рядом интересных свойств и могут быть использованы для решения различных задач. В этом учебном материале мы рассмотрим основные понятия, связанные с правильными многоугольниками, а также их свойства и применение.

1. Определение правильного многоугольника

Как уже было сказано, правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Это означает, что все вершины правильного многоугольника лежат на окружности, а все стороны являются хордами этой окружности.

2. Свойства правильных многоугольников

• Все стороны правильного многоугольника равны. Это следует из определения правильного многоугольника.
• Все углы правильного многоугольника равны. Сумма всех углов правильного n-угольника равна 180°(n – 2).
• Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот же многоугольник. Радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны a, равен: R = a / 2sin(180°/n). Радиус вписанной окружности равен r = a * tg(180°/n) / 2.
• Периметр правильного многоугольника равен сумме длин всех его сторон. Периметр обозначается буквой P. Для вычисления периметра правильного многоугольника достаточно знать длину одной его стороны. Так как длины всех сторон правильного многоугольника одинаковы, то периметр будет равен длине одной стороны, умноженной на количество сторон. Формула периметра: P = an, где a — длина одной стороны, n — количество сторон.
• Площадь правильного многоугольника рассчитывается по формуле: S = (n a²)/4 tg (180/n), где n — число сторон многоугольника, a — сторона многоугольника.

3. Примеры правильных многоугольников

Существует несколько примеров правильных многоугольников, которые часто встречаются в повседневной жизни. Вот некоторые из них:

• Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны.
• Правильный шестиугольник — это шестиугольник, у которого все углы и стороны равны. Шестиугольники часто используются в архитектуре и дизайне.
• Октагон — восьмиугольник, все стороны которого равны, а углы составляют 135°. Октагоны используются при построении зданий, например, куполов.

4. Применение правильных многоугольников

Правильные многоугольники находят широкое применение в различных областях. Они используются для построения различных фигур, таких как звёзды, снежинки, орнаменты и т. д. Правильные многоугольники также используются в строительстве, архитектуре, дизайне и других областях, где требуется создание симметричных и гармоничных форм.

5. Задачи на правильные многоугольники

Рассмотрим несколько задач на правильные многоугольники:

Задача 1: Найдите периметр правильного шестиугольника со стороной 5 см.Решение: Периметр правильного шестиугольника можно найти по формуле P = 6a, где a — сторона шестиугольника. Подставляя значение a = 5, получаем P = 30 см. Ответ: 30 см.

Задача 2: Вычислите площадь правильного пятиугольника со стороной 4 см.Решение: Площадь правильного пятиугольника можно вычислить по формуле S = (5 a²) / 4 tg 36°. Подставляя значения a = 4 и tg 36° ≈ 0,7265, получаем S ≈ 20,35 см². Ответ: ≈ 20,35 см².

Эти задачи демонстрируют, как можно использовать формулы для нахождения периметра и площади правильных многоугольников.

В заключение можно сказать, что правильные многоугольники представляют собой важный элемент геометрии. Они обладают рядом свойств, которые делают их полезными для решения различных задач и применения в различных областях. Изучение правильных многоугольников помогает лучше понять принципы геометрии и развить навыки решения задач.