Прямоугольный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называется прямоугольным.

Стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия:

• сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (AB);
• стороны, образующие прямой угол, называются катетами (AC и BC).

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Рассмотрим некоторые свойства прямоугольного треугольника.

1. Свойство катета, лежащего напротив угла в 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 30°. Проведём высоту AD из вершины прямого угла к гипотенузе. Поскольку в треугольнике ACD угол ACD прямой, то угол ADC равен 60°. Следовательно, угол BDC равен 30°. В прямоугольном треугольнике BDC катет BD, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы BC. Что и требовалось доказать.

2. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ ab, и квадрата со стороной c, поэтому его площадь равна 4 * ½ ab + c² = 2ab + c². Таким образом, (a + b)² = 2ab + c², откуда следует, что c² = a² + b². Теорема доказана.

3. Высота прямоугольного треугольника. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Это свойство следует из подобия прямоугольных треугольников по двум углам.

4. Катет прямоугольного треугольника. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой.

Если обозначить отрезки гипотенузы AC и CB через x и y, а катет BC через a, то согласно свойству высоты прямоугольного треугольника получим:

BC² = AC AB,AC² = BC AB.

Следовательно, BC² : AC² = AB : BC, откуда BC² = AC² BC / AB. Аналогично AC² = BC² AC / AB, т. е. каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и соответствующим отрезком гипотенузы. Это свойство иногда называют теоремой о катете, лежащем напротив угла 30º.

5. Медиана прямоугольного треугольника. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то медианы, проведённые из вершин острых углов, также равны половинам гипотенузы.

6. Биссектриса прямоугольного треугольника. Биссектриса, проведённая из прямого угла к гипотенузе, является медианой и высотой. Это утверждение следует из равенства двух соответствующих треугольников.

7. Равнобедренный прямоугольный треугольник. Если катеты прямоугольного треугольника равны, то он является равнобедренным.

Действительно, если катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB. Углы A и B при основании равнобедренного треугольника равны 45°.

8. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

• По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
• По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

9. Свойства прямоугольного треугольника, которые следуют из теоремы Пифагора:

• В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и второго катета.
• Если в прямоугольном треугольнике заданы длины катетов a и b, то длина гипотенузы может быть найдена по формуле c = √(a² + b²).

Пример 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам a = 5 см и b = 12 см.Решение:По теореме Пифагора c² = a² + b², поэтому c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, откуда c = √169 = 13 см. Ответ: 13 см.

Пример 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите длину неизвестного катета.Решение:Обозначим через b длину неизвестного катета. Тогда по теореме Пифагора a² + b² = c², где a = 12, c = 13. Отсюда b² = c² – a² = 13² – 12² = (13 – 12)(13 + 12) = 1 * 25 = 25. Следовательно, b = √25 = 5 (см). Ответ: 5 см.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какой треугольник называется прямоугольным?
2. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
3. Чему равна сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике?
4. Сформулируйте свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего напротив угла в 30°.
5. Сформулируйте теорему Пифагора.
6. Какие свойства прямоугольного треугольника следуют из теоремы Пифагора?
7. Какое свойство высоты прямоугольного треугольника вы знаете?
8. Какое свойство катета прямоугольного треугольника называют теоремой о катете, лежащем напротив угла 30º?
9. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.