Прямоугольный треугольник и его свойства
Определение. Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называется прямоугольным.
Стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия:
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Рассмотрим некоторые свойства прямоугольного треугольника.
Доказательство:
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 30°. Проведём высоту AD из вершины прямого угла к гипотенузе. Поскольку в треугольнике ACD угол ACD прямой, то угол ADC равен 60°. Следовательно, угол BDC равен 30°. В прямоугольном треугольнике BDC катет BD, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы BC. Что и требовалось доказать.
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ ab, и квадрата со стороной c, поэтому его площадь равна 4 * ½ ab + c² = 2ab + c². Таким образом, (a + b)² = 2ab + c², откуда следует, что c² = a² + b². Теорема доказана.
Это свойство следует из подобия прямоугольных треугольников по двум углам.
Если обозначить отрезки гипотенузы AC и CB через x и y, а катет BC через a, то согласно свойству высоты прямоугольного треугольника получим:
BC² = AC AB,AC² = BC AB.
Следовательно, BC² : AC² = AB : BC, откуда BC² = AC² BC / AB. Аналогично AC² = BC² AC / AB, т. е. каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и соответствующим отрезком гипотенузы. Это свойство иногда называют теоремой о катете, лежащем напротив угла 30º.
Поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то медианы, проведённые из вершин острых углов, также равны половинам гипотенузы.
Биссектриса прямоугольного треугольника. Биссектриса, проведённая из прямого угла к гипотенузе, является медианой и высотой. Это утверждение следует из равенства двух соответствующих треугольников.
Равнобедренный прямоугольный треугольник. Если катеты прямоугольного треугольника равны, то он является равнобедренным.
Действительно, если катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB. Углы A и B при основании равнобедренного треугольника равны 45°.
Пример 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам a = 5 см и b = 12 см.Решение:По теореме Пифагора c² = a² + b², поэтому c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, откуда c = √169 = 13 см. Ответ: 13 см.
Пример 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите длину неизвестного катета.Решение:Обозначим через b длину неизвестного катета. Тогда по теореме Пифагора a² + b² = c², где a = 12, c = 13. Отсюда b² = c² – a² = 13² – 12² = (13 – 12)(13 + 12) = 1 * 25 = 25. Следовательно, b = √25 = 5 (см). Ответ: 5 см.
Вопросы для самоконтроля: