В этом тексте мы подробно разберём связь между понятиями симметрия и параллелограмм, поймём, какие виды симметрии могут встречаться у четырёхугольников, и научимся превращать эти знания в инструменты для решения задач. Начнём с определений: под симметрией в планиметрии понимают преобразование плоскости, сохраняющее расстояния (изометрию), при котором фигура совпадает сама с собой. У параллелограмма простая и важная особенность — его диагонали пересекаются в серединах, и это даёт ключ к пониманию того, какую симметрию он имеет.

Рассмотрим основные виды симметрии, с которыми мы будем работать: осевая (зеркальная) симметрия — отражение относительно прямой; центральная симметрия (или поворот на 180° вокруг точки); и повороты на другие углы. Для плоских фигур группа симметрий часто характеризует их геометрическую «жёсткость»: чем больше симметрий, тем фигура более «правильная» (например, квадрат). Важно: общая, «обычная» форма параллелограмма не имеет осей симметрии, но всегда обладает центральной симметрией относительно точки пересечения диагоналей.

Докажем это утверждение пошагово. Пусть ABCD — параллелограмм. По свойству параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Покажем, что O — центр центральной симметрии: нужна проверка, что точка O — середина отрезков AC и BD. Это следует из того, что в параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Конкретная конструкция: в треугольниках AOB и COD углы при вершине O смежны, а пары сторон AO и OC, BO и OD равны по параллельности и равенству направлений; из этого следует равенство треугольников и, в частности, AO = OC и BO = OD. Значит, каждая вершина параллелограмма переводится под поворотом на 180° вокруг O в противоположную вершину: A ↔ C, B ↔ D. Это и есть центральная симметрия.

Из сказанного вытекают важные следствия и практические приёмы решения задач. Во-первых, если в произвольном четырёхугольнике имеются такие пары вершин, что центр пересечения диагоналей является их серединами, то этот четырёхугольник обязательно параллелограмм. Это можно превратить в удобный критерий: если O — середина AC и BD одновременно, то ABCD — параллелограмм. Во-вторых, это даёт быстрый способ восстановить четвёртую вершину параллелограмма по трём: если известны координаты A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), то для того, чтобы ABCD был параллелограммом, требуется D = A + C − B (в координатной форме). Это легко вывести через векторы: AD = BC ⇒ D = A + (BC) = A + (C − B).

Давайте разберём несколько типичных задач и методы их решения, показывая шаги ещё подробнее. Пример 1. Найти координаты D, если A(1,2), B(5,3), C(4,7). Решение. Используем формулу D = A + C − B по компонентам: xD = 1 + 4 − 5 = 0, yD = 2 + 7 − 3 = 6. Получаем D(0,6). Проверка: векторы AB = (4,1), DC = (4,1) — равны и параллельны, значит ABCD — параллелограммм. Этот приём часто используется на контрольных работах и ЕГЭ — он прост и надёжен.

Пример 2. Докажите, что любой четырёхугольник, обладающий центральной симметрией, является параллелограммом. Решение. Пусть O — центр симметрии, тогда любая точка X переходит в симметричную X' так, что O — середина XX'. Возьмём вершины четырёхугольника A, B, C, D. По условию существуют такие пары, например, A' = C и B' = D, поэтому O — середина AC и BD. Следовательно, диагонали пересекаются и делятся пополам. По обратному свойству диагоналей это и означает, что ABCD — параллелограмм. Таким образом, центральная симметрия и параллелограмм — два эквивалентных понятия в этом контексте.

Рассмотрим частные случаи параллелограмма и их осевые симметрии. Если параллелограмм обладает осевой симметрией, то это автоматически накладывает дополнительные ограничения на сторону. Случаи: (1) если параллелограмм имеет две оси симметрии, причём они пересекаются под прямым углом (оси — это медианы и диагонали), то это либо прямоугольник, либо ромб. (2) Если осей четыре — это квадрат. Конкретнее: у ромба оси симметрии совпадают с диагоналями; у прямоугольника — с перпендикулярными серединными линиями через центр (медианами); у квадрата обе пары осей присутствуют одновременно. У обычного параллелограмма осей симметрии нет, но центральная симметрия остаётся.

Практические приёмы геометрического построения, связанные с симметрией: как построить параллелограмм по двум векторам, как получить симметричную точку относительно точки или прямой и как использовать свойства диагоналей для измерений. Алгоритм построения параллелограмма по векторам: от точки A отложите вектор AB, затем отложите вектор AD параллельно BC; их соединение даёт вершину D. Алгоритм нахождения образа точки A при центральном отражении относительно O: соедините A с O, отложите на этой прямой от O в противоположную сторону отрезок, равный AO; координатно это формула A' = (2x0 − xA, 2y0 − yA). Отражение относительно прямой требует иных формул, но для практических задач часто достаточно свести задачу к отражению относительно вертикальной или горизонтальной прямой (перенести систему координат).

Ниже приведён свод основных свойств для быстрого запоминания (ключевые слова выделены):

• Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам.
• Центральная симметрия существует всегда: центр — точка пересечения диагоналей.
• Оси симметрии присутствуют только в особых случаях: у ромба и прямоугольника (две оси), у квадрата — четыре оси.
• Векторная формула для четвёртой вершины: D = A + C − B.
• Любой четырёхугольник с центральной симметрией — параллелограмм.

Для закрепления навыков приведу ещё одно подробное разборное задание. Задача: в параллелограмме ABCD известно, что AB = 6, BC = 8, угол ABC = 60°. Найдите длину диагонали AC. Решение. Представьте треугольник ABC со сторонами AB = 6, BC = 8 и углом при B равным 60°. По закону косинусов в треугольнике ABC диагональ AC — это третья сторона: AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos∠ABC = 6^2 + 8^2 − 2·6·8·cos60° = 36 + 64 − 96·(1/2) = 100 − 48 = 52. Значит AC = √52 = 2√13. Заметьте: здесь мы использовали, что диагональ — это просто сторона треугольника ABC, образованного двумя соседними сторонами параллелограмма.

В заключение — советы для школьника: при решениях всегда ищите точки пересечения диагоналей, проверяйте наличие центральной симметрии, используйте векторную модель и координаты для простых вычислений. Старайтесь переводить геометрические факты в алгебраические выражения (формула D = A + C − B, формулы отражения), это облегчает контроль и проверку. Помните, что понятие симметрия — это не только украшение геометрии, но и мощный инструмент: оно служит для доказательств, упрощения построений и вычислений, а также помогает быстро классифицировать фигуры по их свойствам.