Вписанные углы
Определение: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
На рисунке 1:
Рисунок 1. Вписанный угол
Теорема о вписанном угле
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство:Пусть $AB$ — хорда окружности с центром $O$, $BD$ — перпендикуляр, проведённый к хорде (рис. 2).
Рисунок 2. Теорема о вписанном угле
Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как его боковые стороны равны радиусу. Поэтому углы при основании этого треугольника равны: $∠ABO = ∠BAO$.
Поскольку $AO$ — биссектриса угла $BAD$, то $∠BAC = ½ ∠BAD$.
Следовательно, $∠ABC = ∠BAC + ∠ACB = ½ ∠BAD + ∠DAC = ½(∠DAB + ∠DAC) = ½ ◡AD$.
Что и требовалось доказать.
Следствие 1: Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.
Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит $180°$, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит $90°$.
Пример 1.
Чему равен вписанный угол, если дуга, на которую он опирается, равна $60°$?
Решение:Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, то угол равен $30°$.
Ответ: $30°$.
Пример 2.
Найдите вписанный в окружность угол, который опирается на дугу, равную $5/6$ окружности. Ответ дайте в градусах.
Решение:Если дуга составляет $5/6$ окружности, то вписанный угол будет равен $5/3$ от развёрнутого угла. Известно, что $180°$ составляет половину развёрнутого угла, поэтому $5/3 \cdot 180 = 300°$.
Ответ: $300°$.
Вопросы для самоконтроля:
Дополнительные сведения
Таким образом, вписанный угол является важным понятием в геометрии. Он широко используется в задачах, связанных с окружностями. Для успешного решения таких задач необходимо знать теорему о вписанном угле и уметь применять её на практике.