Вписанные углы

Определение: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

На рисунке 1:

• $\angle ABC$ — вписанный;
• $BO$ — диаметр окружности;
• $BC$ и $AC$ — хорды окружности.

Рисунок 1. Вписанный угол

Теорема о вписанном угле

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:Пусть $AB$ — хорда окружности с центром $O$, $BD$ — перпендикуляр, проведённый к хорде (рис. 2).

Рисунок 2. Теорема о вписанном угле

Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как его боковые стороны равны радиусу. Поэтому углы при основании этого треугольника равны: $∠ABO = ∠BAO$.

Поскольку $AO$ — биссектриса угла $BAD$, то $∠BAC = ½ ∠BAD$.

Следовательно, $∠ABC = ∠BAC + ∠ACB = ½ ∠BAD + ∠DAC = ½(∠DAB + ∠DAC) = ½ ◡AD$.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1: Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит $180°$, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит $90°$.

Пример 1.

Чему равен вписанный угол, если дуга, на которую он опирается, равна $60°$?

Решение:Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, то угол равен $30°$.

Ответ: $30°$.

Пример 2.

Найдите вписанный в окружность угол, который опирается на дугу, равную $5/6$ окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:Если дуга составляет $5/6$ окружности, то вписанный угол будет равен $5/3$ от развёрнутого угла. Известно, что $180°$ составляет половину развёрнутого угла, поэтому $5/3 \cdot 180 = 300°$.

Ответ: $300°$.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое вписанный угол?
2. Чему равен вписанный угол?
3. Какие следствия вытекают из теоремы о вписанном угле?
4. Приведите примеры решения задач на тему «Вписанные углы».

Дополнительные сведения

• Если все вершины многоугольника лежат на окружности, такой многоугольник называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого многоугольника.
• Теорема об угле вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$. Например, этот факт используется при доказательстве теоремы Пифагора.

Таким образом, вписанный угол является важным понятием в геометрии. Он широко используется в задачах, связанных с окружностями. Для успешного решения таких задач необходимо знать теорему о вписанном угле и уметь применять её на практике.