Арифметическая прогрессия
ОпределениеАрифметической прогрессией называют числовую последовательность, в которой каждый следующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Это число называется разностью арифметической прогрессии.
Любой член последовательности можно найти по формуле:$a_n = a_1 + d(n − 1)$,где an — это член последовательности,a1 — первый член последовательности,d — разность арифметической прогрессии,n — номер члена последовательности.
Рассмотрим несколько примеров арифметической прогрессии:
Характеристическое свойство арифметической прогрессииПоследовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
Приведём пример. Дана арифметическая прогрессия, состоящая из чисел 10, 15, 20, 25. Найдём среднее арифметическое первого и второго членов:(10 + 15) : 2 = 25 : 2 = 12,5.Найдём среднее арифметическое второго и третьего членов:(15 + 20) : 2 = 35 : 2 = 17,5.Мы видим, что второй член равен 15, а 15 не равно ни 12,5, ни 17,5. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Если рассмотреть любую арифметическую прогрессию, то легко убедиться в выполнении характеристического свойства.
Для нахождения разности арифметической прогрессии достаточно из последующего члена вычесть предыдущий.
Из приведённых примеров видно, что разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, а также равняться нулю.
Зная первый член и разность, можно найти любой член арифметической прогрессии и, наоборот, зная два каких-либо члена, можно найти разность.
Также можно определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, если известны два каких-либо её члена. Для этого нужно найти разность этих членов и определить, будет ли она постоянной для всей последовательности. Если разность будет постоянной, то последовательность — арифметическая прогрессия.
Например, дана последовательность чисел 4, 6, 8, 10. Найдём разность первого и второго членов и определим, будет ли разность постоянной для этой последовательности:6 - 4 = 2;8 - 6 = 2.Разность равна 2 и является постоянной для данной последовательности. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью, равной 2.
Теперь рассмотрим последовательность чисел 3, 4, 8, 16. Найдём разность второго и третьего членов и определим, будет ли разность постоянной:4 - 3 = 1;8 - 4 = 4.Разности не равны, следовательно, это не арифметическая прогрессия.
Сумма n первых членов арифметической прогрессииСумму n первых членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:
Пример решения задачиНайти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 4, 9...
Решение:
Таким образом, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой больше (меньше) предыдущего на одно и то же число, называемое разностью. Арифметическую прогрессию можно задать формулой, зная её первый член и разность. Также можно определить, является ли числовая последовательность арифметической прогрессией и найти сумму n первых её членов.
В заключение можно сказать, что знание арифметической прогрессии необходимо для решения многих математических задач. Это один из основных элементов алгебры, который используется в различных областях математики.