Арифметическая прогрессия

ОпределениеАрифметической прогрессией называют числовую последовательность, в которой каждый следующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Любой член последовательности можно найти по формуле:$a_n = a_1 + d(n − 1)$,где an — это член последовательности,a1 — первый член последовательности,d — разность арифметической прогрессии,n — номер члена последовательности.

Рассмотрим несколько примеров арифметической прогрессии:

• 1, 3, 5, 7, 9, 11... — разность равна 2.
• -3, -1, 1, 3, 5... — разность равна -2.
• 5, -5, 5, -5... — разность равна нулю.

Характеристическое свойство арифметической прогрессииПоследовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Приведём пример. Дана арифметическая прогрессия, состоящая из чисел 10, 15, 20, 25. Найдём среднее арифметическое первого и второго членов:(10 + 15) : 2 = 25 : 2 = 12,5.Найдём среднее арифметическое второго и третьего членов:(15 + 20) : 2 = 35 : 2 = 17,5.Мы видим, что второй член равен 15, а 15 не равно ни 12,5, ни 17,5. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Если рассмотреть любую арифметическую прогрессию, то легко убедиться в выполнении характеристического свойства.

Для нахождения разности арифметической прогрессии достаточно из последующего члена вычесть предыдущий.

Из приведённых примеров видно, что разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, а также равняться нулю.

Зная первый член и разность, можно найти любой член арифметической прогрессии и, наоборот, зная два каких-либо члена, можно найти разность.

Также можно определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, если известны два каких-либо её члена. Для этого нужно найти разность этих членов и определить, будет ли она постоянной для всей последовательности. Если разность будет постоянной, то последовательность — арифметическая прогрессия.

Например, дана последовательность чисел 4, 6, 8, 10. Найдём разность первого и второго членов и определим, будет ли разность постоянной для этой последовательности:6 - 4 = 2;8 - 6 = 2.Разность равна 2 и является постоянной для данной последовательности. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью, равной 2.

Теперь рассмотрим последовательность чисел 3, 4, 8, 16. Найдём разность второго и третьего членов и определим, будет ли разность постоянной:4 - 3 = 1;8 - 4 = 4.Разности не равны, следовательно, это не арифметическая прогрессия.

Сумма n первых членов арифметической прогрессииСумму n первых членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:

1. По формуле суммы n членов арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d:$S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$,где $S_n$ — сумма n первых членов,an — n-й член последовательности.
2. По формуле суммы арифметической прогрессии Sn с n членами:$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$.

Пример решения задачиНайти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 4, 9...

Решение:

• Найдём разность этой прогрессии. Для этого вычтем из второго члена первый:9 - 4 = 5.Следовательно, разность d равна 5.
• Подставим в формулу суммы n первых членов известные значения *a*1 и d, а вместо n подставим 10:$S_{10}=\frac{4+45}{2}\cdot 10=540$.Ответ: сумма первых десяти членов равна 540.

Таким образом, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой больше (меньше) предыдущего на одно и то же число, называемое разностью. Арифметическую прогрессию можно задать формулой, зная её первый член и разность. Также можно определить, является ли числовая последовательность арифметической прогрессией и найти сумму n первых её членов.

В заключение можно сказать, что знание арифметической прогрессии необходимо для решения многих математических задач. Это один из основных элементов алгебры, который используется в различных областях математики.