Свойства степеней с натуральным показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a:

$a^n = a a ... * a$ (n раз).

Число a называют основанием степени, а число n — показателем степени.

Например, $2^5 = 2 2 2 2 2 = 32$. Здесь число 2 является основанием степени, а число 5 — показателем степени.

Для степеней с натуральными показателями справедливы следующие свойства:

1. Произведение степеней с одинаковыми основаниями: если a — любое число и m, n — натуральные числа, то справедливо равенство:

• $a^m * a^n = a^(m + n)$.

Пример: $2^3 2^4 = 8 16 = 128$.

2. Частное степеней с одинаковыми основаниями: для любых чисел a и b, отличных от нуля, и натуральных чисел m и n справедливо равенство:

• $(a / b)^m = a^m / b^m$.

Пример: $(3 / 7)^2 = (3^2 / 7^2) = 9 / 49$.

3. Возведение степени в степень: для любого числа a и натуральных чисел m и n верно равенство:

• $(a^m)^n = a^(mn)$.

Пример: $(2^3)^5 = 8^5 = 32768$.

4. Степень произведения: для любых чисел a, b и натурального числа n выполняется равенство:

• $(ab)^n = a^nb^n$.

Пример: $(5 7)^3 = 5^3 7^3 = 125 * 343 = 42875$.

5. Степень частного: для любых натуральных чисел a и b (b ≠ 0) и натурального числа n справедливо равенство:

• $(a/b)^n = (a^n)/(b^n)$.

Пример: $(15 / 3)^2 = (15^2)/(3^2) = 225 / 9 = 25$.

6. Правило возведения в нулевую степень: любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице:

• a^0 = 1.

Пример: 5^0 = 1; (-3,7)^0 = 1.

7. Правило возведения в первую степень: при возведении любого числа в первую степень получается само это число:

• a^1 = a.

Пример: 11^1 = 11; 0,5^1 = 0,5.

8. Степень отрицательного числа с чётным показателем: отрицательное число, возведённое в степень с чётным показателем, есть число положительное:

• (−a)^n, где n — чётное число.

Пример: (−5)^4 = 625; (−3,1)^2 = 9,61.

9. Степень отрицательного числа с нечётным показателем: отрицательное число в степени с нечётным показателем равно отрицательному числу:

• (−a)^n, где n — нечётное число.

Пример: (−2)^3 = −8; (−0,3)^5 = −4,488775.

Эти свойства степеней используются при решении различных задач и упрощении выражений. Они помогают выполнять действия со степенями и находить значения выражений, содержащих степени.

Важно отметить, что свойства степеней применяются только к степеням с натуральными показателями. Степени с дробными или отрицательными показателями имеют свои особенности и требуют отдельного рассмотрения.

Вопросы для закрепления материала:

1. Что такое степень числа?
2. Какие свойства степеней вы знаете?
3. Как выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями?
4. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?
5. Как возвести степень в степень?
6. Как найти степень произведения?
7. Как вычислить степень частного?
8. Какое правило возведения в нулевую степень?
9. Какое правило возведения в первую степень?
10. Чему равна степень отрицательного числа с чётным показателем?

Примеры решения задач:

Задача 1: Вычислите значение выражения $2^7 5^7$.Решение: Используя свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями, получаем:$2^7 5^7 = (2 * 5)^7 = 10^7 = 1 000 000$.Ответ: 1 000 000.

Задача 2: Найдите значение выражения $(−3)^6$.Решение: Так как показатель степени нечётный, то по свойству степеней с нечётными показателями получаем:$(−3)^6 = −3 (−3) (−3) (−3) (−3) * (−3) = −405$.Ответ: −405.