Свойства степеней с натуральным показателем
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a:
$a^n = a a ... * a$ (n раз).
Число a называют основанием степени, а число n — показателем степени.
Например, $2^5 = 2 2 2 2 2 = 32$. Здесь число 2 является основанием степени, а число 5 — показателем степени.
Для степеней с натуральными показателями справедливы следующие свойства:
Пример: $2^3 2^4 = 8 16 = 128$.
Пример: $(3 / 7)^2 = (3^2 / 7^2) = 9 / 49$.
Пример: $(2^3)^5 = 8^5 = 32768$.
Пример: $(5 7)^3 = 5^3 7^3 = 125 * 343 = 42875$.
Пример: $(15 / 3)^2 = (15^2)/(3^2) = 225 / 9 = 25$.
Пример: 5^0 = 1; (-3,7)^0 = 1.
Пример: 11^1 = 11; 0,5^1 = 0,5.
Пример: (−5)^4 = 625; (−3,1)^2 = 9,61.
Пример: (−2)^3 = −8; (−0,3)^5 = −4,488775.
Эти свойства степеней используются при решении различных задач и упрощении выражений. Они помогают выполнять действия со степенями и находить значения выражений, содержащих степени.
Важно отметить, что свойства степеней применяются только к степеням с натуральными показателями. Степени с дробными или отрицательными показателями имеют свои особенности и требуют отдельного рассмотрения.
Вопросы для закрепления материала:
Примеры решения задач:
Задача 1: Вычислите значение выражения $2^7 5^7$.Решение: Используя свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями, получаем:$2^7 5^7 = (2 * 5)^7 = 10^7 = 1 000 000$.Ответ: 1 000 000.
Задача 2: Найдите значение выражения $(−3)^6$.Решение: Так как показатель степени нечётный, то по свойству степеней с нечётными показателями получаем:$(−3)^6 = −3 (−3) (−3) (−3) (−3) * (−3) = −405$.Ответ: −405.