Линейная функция

Определение и свойства линейной функцииЛинейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — некоторые числа. При этом число k называют угловым коэффициентом, а число b — свободным членом.

График линейной функции — прямая. Число k равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси Ox. Если k > 0, то этот угол острый, если k < 0 — тупой, а если k = 0, то прямая совпадает с осью Ox.

Если b = 0, то график линейной функции проходит через начало координат. В противном случае — пересекает ось Oy в точке (0; b).

Свойства линейной функции:

• Область определения — множество всех действительных чисел.
• Если k ≠ 0, то область значений — множество всех действительных чисел; если k = 0, то областью значений является одно число b.
• Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает на всей области определения.
• График функции y = kx проходит через начало координат, а график функции y = kx + b параллелен ему.

Примеры линейных функций:

1. y = 2x + 3. Здесь k = 2, b = 3. График этой функции получается из графика функции y = 2x сдвигом на три единицы вверх.
2. y = -x. Здесь k = -1, b = 0. График этой функции симметричен графику функции y = x относительно оси Oy.
3. y = 5. Здесь k = 0, b = 5. График этой функции представляет собой прямую, параллельную оси Ox, которая проходит через точку (0; 5).
4. y = x. Здесь k = 1, b = 0. Эта функция является частным случаем линейной функции. Её графиком является биссектриса I и III координатных углов.

Построение графика линейной функцииЧтобы построить график линейной функции, нужно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Для построения графика обычно берут значения аргумента, равные нулю и единице. Получим точки (0; b) и (1; k + b), принадлежащие графику.

Пример: построим график функции y = 2x – 1.Решение: чтобы построить график этой функции, найдём координаты двух его точек. Если x = 0, то y = –1. Если x = 1, то y = 1. Отметим точки (0; –1) и (1; 1) на координатной плоскости и проведём через них прямую. Это и будет график функции y = 2x – 1.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое линейная функция?
2. Как выглядит график линейной функции?
3. Какие свойства имеет линейная функция?
4. Как построить график линейной функции?

Это лишь часть учебного материала по теме «Линейная функция». Для более глубокого изучения темы рекомендуется обратиться к учебникам по математике или информатике. Также можно использовать онлайн-ресурсы, которые предлагают интерактивные задания и тесты по данной теме.